INTÉGRALES TRIPLES^ INTÉGRALES MULTIPLES

Faisons maintenant un nouveau changement de variables

d'où Ton tire

'Jt

+ Si

•îr.Ç

Ml-

Le Jacobien de j?, y^ z^ par rapport à Ç, ti, Ç a pour valeur £' r, ; la quantité sur laquelle porte Tintégrale (15) devient, en supprimant momentanément les indices^

et la condition (16)

Comme x^ et ^i doivent être positives, il en résulte aussi

0<ir,<l.

Les variables sont donc séparées et Ton pourra écrire ^ sous la forme

Les deux dernières intégrales peuvent être effectuées ; elles ont respectivement pour valeurs, en restituant les indices,

GHAPITRB VIII

On est donc ramené à l'intégrale simple

Un cas est particulièrement intéressant ; c'est celui où /(Q ^ 1 . On a alors

mM)

%59« Calculons, par exemple, le volume de l'ellipsoïde qui a ]:our équation

ilOl

En se bornant aux valeurs positives des variables, on aura le huitième de ce volume. 11 faut faire

p=zq=r=i, et appliquer la formule (18). On aura ainsi

abc H^l

Xi) ~ I

ro = v/i;

donc

V = w itaftc.

342 CHAPITRE Vlîl

Nous trouvons ainsi

1 = / .,.^Pi - idx, ,., / .v^-r^"" ^ (i - 07, — ..

cette forme est tout à fait analogue à celle que nous venons de réduire. Nous écrirons, sans plus de calculs,

yypn - , -f- p„ -+- 1) • r(p„>, 4- ;/«..,-+-;)„ -^ 1) — ce qui, après réductions évidentes, est bien la formule (21).

Centres de gravilé et Moments cFinertie

261. Soit P un plan ; w,, m^ ... m„ un système de k points matériels dont les masses seront désignées par les mi^mes lettres mi, m^ ..., et dont les distances respectives au planP

sont e/j, d^ Soit enfin M la masse totale du système,

G son centre de gravité, D la distance de ce point au plan P. On sait que

Si Ton fait coïncider le plan P successivement avec chacun des trois plans coordonnés, les distances di deviendront le^ coordonnées a?», y,-, Zi des masses >«,, et D prendra les trois valeurs x^ ijy z qui déterminent la position du contre de gravité.

S'il s'agit d'un volume, la masse nii est un élément de vo-

INTEGRALES TRIPLES, INTKGRALE3 MULTIPLES

lumc au point m, multiplié par la densité p^ ; celte den uno fonction des coordonnées du point îw;. Les somii fîgurent dans la formule [22} deviennent des intégrales et, en prenant pour plan P le plan ijoz par exemple, o

pd.Myth

Si le volume est homogène, p est une constante qui rait dans la formule (23) et l'on a simplement

I j 1 xdxdijdz

V dtîsignant le volume du corps.

Les mêmes considérations s'appliquent aux surraces lignes, avec celte seule différence que les intégrait doubles ou simples au lieu d'être triples. On aura, par ej dans le cas d'une surface homogène, pour l'abscisse ^du de gravité

J-tl.

en désignant par S l'aire totale et par (/i l'aire d'un O superficiel.

S62. Exemples, i" Soit à déterminer le centre de d'un hémisphère plein homogène. Nous supposons centre de la sphère est à l'origine et que te plan des xy l'hémisphère. Le centre de gravité se trouve évide sur Oz. Sa distance à l'origine sera donnée par laformu

JJf

dxdi/ds

Nous intégrerons pour toutes les vdlenvs positivés de jr, y,r satisfaisant à l'inégalité

^' -H y* -h ;ar« < R^

et nous multiplierons le résultat par 4. C'est une application de la formule de Dirichlet (18). Il faut faire

On trouve ainsi

icR*

2° Cherchons maintenant le centre de gravité d'un arc de^ cycloïde complet (tome 1®^ n® 286). La courbe est plane etii Buffit de deux coordonnées ; de plus, à cause de la symétrie, le centre de gravité se trouve sur Tordonnée du point le plus haut et il suffit de trouver à quelle distance de Oj:, ce qu'oa obtient par la formule

I yds j a{{ — ces i)2a sin n dl

Sa Sa

203« On appelle moment cT inertie d'un point matériel par rapport à un axe le produit m. r' de la masse du point parle carré de sa distance à Taxe ; le moment d'inertie^ I, d'un système de points matériels est la somme des produits analogues

I = ^mr^.

lOTÉGHALEB TRIPLES, INTicHALES MULTIPLES 34r>

Si le corps est homogène et continu (nous supposerons alors sa densité égale à un), on a une intégrale triple à calculer

d\ étant un élément de volume.

264* Donnons deux exemples.

1" Moment d'inertie d'une poutre droite à section rectangulaire par rapport à son axe longitudinal. Nous prendrons pour axe de la poutre l'axe des z ; la section droite sera un rectangle ayant son centre à l'origine et ses côtés parallèles h Oj- et à Oy. IVous appellerons c la longueur de la poutre, 2a et 2b les dimensions de sa section. Il faut calculer

(j' -+- y*)dxdydz.

L'intégration par rapport à : s'eiïectue immédiatement et l'on a

dy{x*-^y%

= 2cb I x*dx -i- 2ac 1 y^dy,

2" Moment d'inertie de la sphère par rapport à un de s< diamètres (Oz).

Il s'agit de calculer

•+y')dijdyi/s

f)Our toutes les valeurs de x,y,z telles que

^2 4 yS ^ s^ < R*

Mais on a évidemment, en considérant les deux autre-; axes,

I I T Ij H- ly "i" Jg

).2 -^ yï 4 z^)dxdyd*

C'est encore une application de la formule deDirichlet (17). jNous calculerons le huitième de I, pour nous borner aux valeurs positives des variables. Ici Ton a

p =z qz= r

-H y« + ^* = Râ?,

d'où