L'équation la plus simple de ce type est
que Ton peut écrire
\dx ' drV ■"
en posant
dy dx
II y a trois cas à distinguer :
1^ On peut résoudre Téquation (14) par rapport à ^.
On a alors
dv
^L = m d'où
dx
et, par suite,
Si l'on peut lirer de cette équation p en fonction de x, on aura
p = Q (jt) d'où dy=^^ [x) dx
et, par suite,
)dx -+- G.
ÉQUATIONS DlFFÉBBNTlltLLBS A DEUX VARIABLES
Cette équation est l'intégrale générale puisqu'elle r deux constantes arbitraires C et G'.
Si l'on ne peut pas tirer de (16) p en fonction de ^.
C étant une constante arbitraire, et l'on obtiendra l'i générale en éliminant p entre (16) et (17).
2° On ne peut pas résoudre l'équation (14) par rapp mais on peut la résoudre par rapport à p.
On aura
c'est-à-dire
P = ?(î) en posant
En difTérenliant alors la relation précédente, on ai
dp = f'{q)dq
Mais
par suite,
et, par intégratioQ,
C et G étant deux constantes arbitraires. L'intégrale générale résultera donc de Télimination de q entre les deux équations qui précèdent.
3<^ On ne sait résoudre l'équation (14) ni par rapport à p, ni par rapport à q ; mais on sait exprimer p et q en fonclion d'une nouvelle variable m, en sorte qu'on a
Les relations (18) deviennent alors
d'où, par intégration,
/? (w) . n / ? (w) ^' (^) j . rf
-7x du -hC. y= I '--r-r\ du 4- C, fw ' -^ ^ 4'(w)
C et G étant deux constantes arbitraires. L'intégrale générale résultera de l'élimination de u entre les deux équations précédentes.
435* Considérons maintenant l'équation plus générale
que Ton peut écrire
en posant
On tirera de (20)
III , !^i!A,yÇ^r^JW?
et par suite
C était une constante.
Cela posé :
i^ Si Téquation (22) peut ôtre résolue par rapport â /?, on aura
P = f{^) c'est-à-dire ^-^ = /'(a?) ;
on sera donc ramené au type (9).
2° Si l'équation (22) ne peut être résolue par rapport à p, on écrira (21) sous la forme
d'où
c, étant une constante arbitraire. En multipliant parp^ et intégrant, on aura
cf«-3y I dp f pdp ^r ^^r
di^ = J ¥(P)J F(^-^<^*^^^*-
Et, en continuant de la sorte, on obtiendra la valeur de y en fonction d'à: par des quadratures.
Voici un exemple :
Soit l'équation différentielle
dh/d ^ da^ dx^
r»5i CHAPITRE Xlt
quand on pose
elle devient
d'où
^pdp
dx z=ia
et, en intégrant.
On peot résoudre par rapport à /?, ce qui donne
" »" ii
qui rentre dans le type (9), en sorte que l'on a finalement pour Fintégrale générale de l'équation proposée
C» Cil Cj sont des constantes arbitraires.
Au lieu de résoudre (22') par rapport à py on aurait pu suivre la seconde marche indiquée ci-dessus ; mais le calcul, sans être difficile, est moins simple*
436* II y a deux cas à distinguer suivant que cette équation est résoluble par rapport k j ou par rapport à y.
ÉQUATIUNS DIFFÉBENTIBLLBS A DEUX %'ABIARI
1° Soit l'équation
ËD multipliant par 2d^ et intégrant on obtient
On tire de là
dx =
Jy-
et enfin, en désignant le radical par R,
-pi-
c'est l'intégrale générale puisqu'elle renferme deux arbitraires G et C.
2° Supposons qu'on ne puiBsepasrésoudrel'équalio
par rapport k ^-^ , mais que l'on sache résoudre cell par rapport & y. On aura alors
ou
y = n.q) en posant
dx ^' dx ^
Mais la (lifrérenliatioD de (2îj d'autre part donnent rcspec
En %alant ces deux expresi^ tion diflérenticlle daas faqui qui donne, par intégration.
Mais on a
et, par suite.
en posant
EnQn en intégrant de nouve;
C et C sont deux constantes résultera de l'élimination de
EQUATIONS DIFFFIRENTIBLLES A DUUX VARIABLES
l-^qiiatlons oA n'entrent ni x, ni y,
mais sçiilcnicnt deux dérivées dont les ordres
dilTércnt de deux unités
43T. Il s'agît ici du type
dx-~ ËD posant
dw" - * ce qui donne
on rentre dans le cas précédent (n" t3C, 1°), et, par suite, on a On d<!duil de là, en désignant le radical par ^{p),
Cela posé,
1" Si l'on peut résoudre (31) par rapport à />, on aura
. ou ,^ = «.,
qui a la forme (9) et dont l'intégration lournira {a" 432) les n — 2 autres constantes arbitraires.
2" Si on ne peutrésoudre (31) par rapportà/j, on procédera comme au n" 435, 2°.
De (2!l) on
et, par suite.
et ainsi de si telle que
et réiiminatio
l'intégrale gi-r
-138. Il n'e
dîirérentielle
que nous avoi géniJ paiement
