Lorsqu'une équation différentielle
ne renferme pas la variable indépendante x, on peut abaisser son ordre d'une unité.
En effet, prenons y pour variable indépendante et
du
pour la fonction inconnue ; puis, cherchons à exprimer, en fonction de p et de ses dérivées par rapport à y, les dérivées successives qui figurent dans l'équation (30). Nous aurons
d^i/ dp^ dp dp
dx^ dx {^\ dy
0^ — dxP \dy} —^TyV'Tyj—P (h/^ ^ ^ \d,j)
On voit ainsi que, en général, ^^ s'exprimera en fonction de p et de ses n — 1 dérivées par rapport à y. Donc, si Ton porte
ces valeurs dans (36), on aura une équation d'ordre n — l en p ; et, par suite^ l'ordre sera bien abaissé d'une unité. Si Ton sait intégrer cette nouvelle équation, on aura
mais
dv = ^= -^ ' P l(^
on aura donc pour Téquation générale de (3)
Ci, Ci, ... Cn sont des constantes arbitraires.
Equations lioniogèncs
44 !• On peut abaisser d'une imité V ordre n d^une équation différentielle lorsqu'elle est homogène par rapport à y et à ses dérivées.
En effet, en vertu de Thypothèse, Téqualion pourra s'écrire
y" F I X, ÏÏx, dx}, ... ^* ) = 0 (37)
Mais,
en
posant
fuâx
on aura
dy
dx
fudx
dhj
f%iâx
d'y dx'
fudx
du
dx
EQUATIONS niFPKRbNTIBLLliS A DIfUX VARIABLES 361
Si l'on substitue ces valeurs dans (37), l'exponeattelle diaparaitra, et l'on tombera sur une équation dilIt!rcalie!lo d'ordre « — 1. En supposant qu'on sache intégrer cette équation, u sera connue et y s'obtiendra par une quadrature (;18).
