Considérons l'intégrale

h= I [r-^{v'^-p)fv]dx . (96)

dans laquelle / est mis pour f{p, y, x) ei /;/ est la dérivée partielle prise par rapport à p, et cherchons quelle fonction p (x, y) il faut substituer à p pour que l'intégrale Ji soit indé-

pendante du chemin d'intégration. Nous avons vu (*) (Chap. 11, n° 97) qu'en mettant cette intégrale sous la forme

[(f — Pfp) dx-^fjdy]r

on a la condition (SJ^ = 0)

ôî/ ' ÙX

qui donne p comme solution d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre ; cette condition développée est

(/;/ + pm I + /;/2 f^ + pfp",y -+- fv;,. - /; = o. (o?)

Elle a, comme on va le voir, un lien des plus intimes avec l'équation différentielle des extrémales

relative à l'intégrale

J = / f{x, y> y') àco.

Donnons en effet à y une variation ly ; nous aurons

8J= / [fr^y-\-Uly')dx ' (99)

°Ji= / [/•;8z/-l-/,/S,v' + (r/;-p)o7;]c^a;. (100)

(*) Le calcul du Chap. II peut se résumer en disant que la variation de l'intégrale appelée I est nulle.

Si donc on a choisi pour;j une solution de l'équation (97), les courbes intégrales de l'équation différentielle ordinaire

y' = p ip^, y)

seront également -intégrales de (98), c'est-à-dire seront des extrémales du problème de variations considéré. En effet,, dans ce cas, 8Jj se réduit à ôj et ces deux variations sont nulles en même temps. Réciproquement connaissant une famille, à un paramètre, de courbes extrémales, on pourra toujours former une équation du premier ordre

dont ces courbes soient les solutions ; la fonction ;:> ainsi obtenue sera une intégrale de l'équation (97).

11 résulte de ce qui précède qu'en désignant par y l'ordonnée d'une extrémale et par ï/ sa dérivée par rapport à x, on aura

h= / [t{v)'^{y'-p)fJ{l^)\do^= / f{y')dœ

la première intégrale est prise le long d'une courbe quelconque et la seconde le long d'une extrémale ; les deux intégrales sont égales puisque, par suite du choix de p, Ji est indépendante du chemin d'intégration. Arrivons enfin à la comparaison de l'intégrale analogue prise le long d'une extrémale avec l'intégrale prise le long d'une courbe quelconque ; nous voulons parler de la différence

f^) dx- ï r{Tj) dx

dont le signe nous fixera sur la question de savoir si l'on a un maximum ou un minimum. Cette différence a pour expression

AJ= / ¥.{y',p)dx, •

en posant, avec AVeierstrass,

E {y', p) = rW) - fip) - {y' - p) r; (p).

666. Revenons, par exemple, au problème que nous avons traité dans le numéro 618 (plus court chemin entre deux points). On a

donc

E (y, p) = \/i+ xf^ - sj\ -HP'- - (y - p)

\J\ -t- p2 /l ^ ^/2 (^1 , py/) ^

Le numérateur est esentiellement positif ; car le carré du premier terme est supérieur au carré du module du second en vertu de l'identité

(1 + f') (1 + if-) - (1 + piij = [p- y'Y

La fonction E [y' , p) étant essentiellement positive, il en est de même de AJ et l'on a bien un minimum. Dans le sixième exemple (n° 631), on a

^^ ^^'' ^^ ^ Tî^T^^ [^'^ - y" y~" ^^ - ^' y" ~ ^ + py' y"^

et l'on voit aisément que le crochet est toujours négatif ; on a donc bien affaire à un maximum.

66'î'. Des considérations analogues ont été développées par M. Hilbert pour les intégrales doubles. En voici la conclusion.

Désignant toujours par p ei q les dérivées de z relatives à une surface extrémale, tandis que z'^ et z'y sont les dérivées

de z pour une surface quelconque. La fonction qui permettra de reconnaître si l'intégrale

/ 1 F (J7, y, Z, z'^, z'y) dx dy

est maximum ou bien minimum sera

CaLCUI- INFIKITÉSIMAL 53

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1, Définition de l'intégrale définie 1