XY — ^1 —X^ — Y
Avec ces variables, l'équation (87) devient simplement
ô^ ht] '
d'où
f[^) et tp ("o) étant des fonctions arbitraires. Un calcul analogue aurait donné aussi y comme somme de deux fonctions arbitraires.
On a ensuite
d'où
Z=: / xdK= / f'(^dK~{- / (f'(r;)c^X,
Y étant traitée dans l'intégration comme une constante. Mais les équations (88) peuvent s'écrire
X = Y^-HV/-il-^| (89)
X = YïH-v/— 1— T,2)
d'où, en difîérentiant dans l'hypothèse Y = constante.
dX =Yd\-\-d \/— 1 — (^ = Yd-ri -\- d /— 1 — 7)2. Portons ces deux valeurs de dX. dans les intégrales corres-
pondantes, on mettra Z, après une intégration par parties, sous la forme
-^ Ycf (vi) 4- / 1 - r;- tp' (^) / /— 1 -T,2 ^" (rij cfr)
Or on a, par les formules de Legendre,
ôZ ^ = ôY'
la dérivée étant prise dans l'hypothèse que X et Y sont les variables indépendantes. Les équations (88) fourniront ^ et j^Y et l'on obtiendra alors pour y l'expression
ï/ = /'œ-^/"(Q + ?(-i)-^T'(-i)- Comme^ enfin, on a
on aura
Les trois coordonnées x, ?/, :r sont ainsi exprimées en fonction de deux paramètres arbitraires ? et v).
eST. 11 n'est pas sans intérêt de montrer que ces formules, qui sont restées longtemps inutilisées, peuvent donner des surfaces réelles. A cet effet introduisons une nouvelle variable et une nouvelle fonction arbitraire définies par les trois équations
f" (0 If" (0 __ i ^^¥ f" )^) 1 y/,,N ^^
qui se réduisent évidemment à deux ; chaque numérateur est la dérivée du terme en ^ correspondant dans x^ y ou z. Soit de même
Les valeurs des coordonnées prendront la forme
x = \^ j (1 — u^) §-(0) du 4- ^ / (1 — u]) ^, {u,) du,
(1 — ^2) lf{u) du — \\ (1 -h w?) i^i (l^i) C^Wi
t^ ir(w) du -\- I Wj ,3- (Wj) du^.
Il suffit maintenant de prendre pour ê^(u) et pour ITj (wj.des fonctions imaginaires conjuguées, de donner à t^ et Ui des valeurs imaginaires conjuguées, enfin de choisir pour chemins d'intégration des courbes imaginaires conjuguées pour avoir des surfaces réelles. La réciproque de cette proposition évidente a été démontrée par M. Darboux (Leçons I, p. 292). Si l'on pose
^(^u) = F"'{u), iri(wO=Fi'"K).
on obtiendra les formules suivantes, qui sont débarrassées de tout signe d'intégration,
ce = ^~ F" (u) -h u F' (u) — F {u)
y = i ^^ F" (m) — iu F' (u) -+- i F (u)
^• L^Jfi F", {u,) -+ iu, F\ (u,) + i F, (u,) z = uF" (m) — F' {u) -^ u, F\ (u,) — F'i (w,) et qui ont été données par Weierstrass.
En prenant par F et Fj des fonctions alge'briques, on aura ■des surfaces algébriques.
658. Onzième exemple. — Reprise d'un théorème de Dirichlet relatif au potentiel.
Nous avons cherché, page 400, l'extremum absolu de l'intégrale triple
( — j j c?a; c?y dz.
En supposant le champ d'intégration invariable, ainsi que les valeurs de V et de ses premières dérivées aux limites du champ 3 on a
I dx dy dz,
OU en intégrant par parties les trois termes respectivement par rapport à ^, à ?/ et à ^ et, remarquant que les parties intégrées s'annulent aux limites du champ,
SJ= — 2
l^^^^miNdcodydz.
€ette variation devant être nulle identiquement, on aura
ô^V ô^v ô^V rt ^x^ ^y^ ^z^
C'est le théorème de Dirichlet. Il prouve que, si le minimum existe, il est une solution de l'Equation de Laplace. Mais, ainsi que Weierstrass la fait observer, l'existence du
minimum n'est nullement établie (*) et la démonstration manque de riguenr. De profondes recherches dues à MM. Neumann, Poincaré, Schwarz et Harnack ont élucidé cette question dans un grand nombre de cas. Nous ne suivrons pas ces savants géomètres sur ce terrain ; il nous en coûterait d'abandonner un genre de raisonnement, fécond au moins pour la découverte, et qu'on peut toujours essayer de rendre^ plus rigoureux dans chaque problème particulier. Nous préférons adopter l'énoncé suivant dû à M. Hilbertqui l'a appuyé par d'ingénieuses considérations (Voir la traduction dans les Nouv. Ann. de Math., année 1900) : « Tout problème « du Calcul des Variations possède une solution pourvu que « certaines hypothèses restriticves convenablement choisies, « relatives à la nature des conditions limitatives données, (( soient remplies, et, nécessairement aussi, pourvu que ce « que l'on entend par le mot solution éprouve une générali- « sation conforme au sens, à la nature des choses. »
Extreiiiums des fonctions définies par des équations différentielles
659. Le premier problème d'extremum que nous avons traité peut s'énoncer ainsi : déterminer une fonction y telle qu'une fonction J, définie par l'équation
d] ^ / dy
dx 'V ' dx
soit extremum, connaissant les valeurs y^^ Jo> des variables y et J pour X =■ Xq et la valeur yi de y pour x = .Yj.
(*) C'est ainsi qu'il n'existe pas, parmi toutes les courbes qui touchent deux droites données en deux points donnés A et B, de courbe plus courte que toutes les autres, puisque le plus court chemin de A à B est la droite AB, dont les courbes cherchées peuvent évidemment se rapprocher indéfiniment sans se confondre avec elle. (Exemple communiqué par M, Hadamard).
De même le problème isopérimétrique peut être lormulé de la manière suivante : connaissant les valeurs J,,, Ko, 2/0. Ki» Vii satisfaire aux équations
dx - ^V' ^' dLxy dx - ^ T' ^' dœ)
de manière que ^1 soit extremum.
660. D'une manière générale, nous traiterons le problème suivant : connaissant les valeurs initiales et finales, sauf une, des variables y, z, u qui satisfont aux équations
cpi {x, y, z, u, t/', z', u') = 0 I
déterminer les fonctions y, z, u de manière que la valeur finale inconnue soit un extremum. Nous supposerons données yo> ^Q, Wq, 2/1, -1 ; Ui devra être extremum. Il faudra pour cela que l'accroissement de u^^ conserve un signe constant, quelles que soient It's variations arbitraires attribuées aux fonctions y et z, c'est-à-dire, ainsi que nous l'avons souvent expliqué, qu'on aura toujours la condition nécessaire
D'ailleurs, au lieu de donner i/o, Zq ..., on pourrait simplement supposer qu'il existe entre ces quantités certaines relations. Le lecteur traitera sans peine ce cas d'après les règles formulées dans les sections précédentes. De même on étendra facilement ce qui va suivre au cas d'un plus grand nombre de variables. Nous ferons seulement observer que le problème actuel est plus général que ceux traités jusqu'à présent ; par exemple, il permettrait de trouver l'extremum de l'intégrale
dans laquelle s désigne la longueur de l'arc de la courbe inconnue.
■tX
Il suffirait d'écrire
dx
spour rentrer dans le type (94).
Remarquons encore que l'on pourrait éliminer une des fonctions, y par exemple, entre les équations (94). Le problème ne comporte donc au fond qu'une fonction arbitraire.
661. Difîérentions les équations (90) par rapport au signe S • nous obtenons ainsi les nouvelles équations
cfV. ^y -^ '" + ?V'/ ¥ H- ... = 0 ;
- ^2-y % + ••• -H ?Vî/' oy' -h ... =0 \ ^ ■ ■
Multiplions ces équations par des indéterminées ?j et ^^ î ajoutons les et intégrons par rapport à x. Nous obtenons l'équation
l{U¥vj-^U^'-2,)^y-^-]da^ = 0; (92)
comme on a
^ , r^ dy dh/
ClCo (Xi (a)
v^ij dx = I vly r ^ — / 0?/ -y- dx.
dx
^0 *^ Xq
l'équation (96) s'écrira
[(^.?V,/ + ^2îV.')5y-t-...K; = 0;
choisissons ^i et \^ de manière à annuler les crochets multipliés par ly et par Iz, sous le signe /, il en résultera que celui en lu devra être aussi nul, puisque le problème comporte une arbitraire ; on aura ainsi les conditions ,
qui, jointes aux équations (90), déterminent \^, \^, y, z et u.
La partie tout intégrée devra être aussi nulle ; seulement, si l'on ohserve que les valeurs initiales des variables sont données, on aura identiquement
2^0 = 5-0 = Swq = 0
€t l'annulation de la partie intégrée donne l'équation
Dans le cas actuel, î/i et z^ sont données c'est-à-dire qu'on a encore
et il en résulte
la condition nécessaire- pour qu'il y ait extremum est donc (remplie. Les constantes introduites par l'intégration des équations (94) seront déterminées par les conditions initiales.
828 CHAPITRE XVll
66!S. Si l'on n'a qu'une équation (90) et si de plus on la met sous la forme
cpi = u' — f{x, y, z, y', z'),
la seule arbitraire ^^ est nécessairement une constante, à cause de la dernière équation (94), et ces équations (94) se réduisent aux conditions connues
d iv rirn ly' —
dx
dx
r-- -4zU== 0.
663. Reprenons, par exemple, le problème traité au numéro 630. Il s'agit de résoudre les deux équations
tfi = w' — ly = 0, o, = z' —\/\-^ y'-' = 0,
sachant que la valeur de u^ correspondante k x = ocx, doit être un minimum et que de plus, on doit avoir
y = z = u ^=- Q pour a; = 0
et
y =zQ, z = l pour X = x^^
Les deux dernières équations (94) montrent d'abord que ^^ et ?2 sont constants; si l'on appelle a le rapport de ces constantes, la première de ces équations, intégrée, donne alors
^ = a {oG — c).
L'intégration est immédiate ; on trouve le cercle
^2 {cG — cf -i-a^y -^ hf = 1.
Les conditions aux limites, relatives à y donneront
Les constantes b et x^, par exemple, seront ensuite déterminées par les conditions aux limites relatives à la fonction
Elles sont faciles à écrire.
Indications sommaires permettant de distinguer dans certains cas le maximum ou le minimum
664. Le but que nous nous étions proposé est maintenant atteint ; les conditions nécessaires à l'existence du maximum ou du minimum sont établies, et le champ des recherches est liaiité. I^es courbes ou surfaces extrémales devront être cherchées parmi les solutions d'équations que nous avons appris à former, au moins dans le cas où ces courbes et surfaces sont a priori supposées continues et analytiques. Mais il restera au lecteur à vérifier, dans chaque problème particulier, s'il a effectivement un extremum et même si le problème comporte un extremum. Voici à cet égard quelques indications dues à M. Hilbert (Congrès des mathématiciens, 1900, Compte rendu, p. 108).
