CHAPITRE PREMIER DES INTÉGRALES INDÉFINIES

Rapfiel de cléflnîlions et cléfiiiUioiis nouvelles Premières propriétés

1. Nous avons eu, à plusieurs reprises, dans le premier volume, l'occasion de donner les premières définitions du calcul intégral. Rappelons-les rapidement.

Considérons la somme

dans laquelle i reçoit les valeurs 0, 1, 2.... n — 1 et où ^i représente un nombre quelconque compris entre x^ et,rj^j; on suppose, de plus, que x^ = a, et œ^ = b, a ei b étant deux constantes. Nous avons démontré (t. I, n° 3), par des considérations géométriques et l'on démontrerait aisément, par une méthode analytique analogue à celle que nous avons .développée n° 282, que cette somme a, lorsque les différences Xij^i — Xi tendent toutes vers zéro, une limite bien définie; nous supposons pour le moment que f {x) reste, pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b, continue et bien déterminée. On appelle cette limite somme de a k b, ei on la désigne par la notation

f(œ)dx.

^ a Calcul infinitésimal 1

Cette expression s'appelle aussi une intégrale définie ; a et h sont les limites de cette iutégrale, et il est essentiel de reinarquer qu'il n'y a aucun lien entre les limites et la lettre qui figure dans l'expression f(x)dx. Ainsi on a

f {x)dco =

f(oi.)do

L'intégrale définie ne dépend que de ses limites. La différentielle f[x)dx s'appelle aussi la quantité sous le signe j ou V expression à intégrer.

H, Si la limite supérieure b est variable^ et nous la désignerons alors par x, l'intégrale définie devient une fonction à.'x qu'on appelle une intégrale indéfinie ; cette intégrale indéfinie a pour dérivée f{x) (I, n° 4) ; ainsi l'on a

[{y) do

et l'intégrale indéfinie est une fonction primitive de f[x).

3. Soit cp [x) une fonction primitive quelconque de f{x). Nous avons démontré (n° 234) que

f{a.)drx == (f(b) — (p(a)

On écrit souvent