Voici maintenant quelques propriétés évidentes du nou

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veau symbole dans lequel nous supprimerons, pour la rapidité de l'écriture, l'expression ditférentielle /(a)û?a. Soit

f? ^ c >> 6 >> a ; on aura

/-»à rifi rtC ' .-td

5. Si, dans la définition de Tintégrale définie^ on change le signe de toutes les différences Xij^y — Xi, on voit immédiatement que

6. Il résulte des n^* 3 et 5 la dérivée d'une intégrale définie par rapport à sa limite inférieure :

Ta / n^)d-^ = -r{^^) (6)

H, On a encore évidemment

/ I^A f{x) H- Bo(^) + Oh{x) ^ .Adx

A, B, C... étant des constantes. Et la relation subsiste pour les intégrales indéfinies, à condition d'ajouter au second membre une constante arbitraire, puisque, pour passer à l'intégrale indéfinie, il suffit de rendre variable la limite supérieure.

Théorèmes de la iiioj eiiiie

8, Soit M la plus grande et m la plus petite des valeurs que peut prendre la fonction f {x) entre a et b. Comme on a évidemment, en supposant ^; + ^ >> Xi,

M(a?;+ 1 — x) > fC^i) («^H 1 — ^i) > H^i+l — ^i)'

on aura aussi

M{xi + 1 — ^i) > 2 /"(•'■) (^' + 1 ~ ^'^ > 2 "^("^' + 1 ~~ ^0'

c'est-à-dire, en supposant b "^ a,

M(b — «) > / f{a))dcc > m(5 — a).

Si, comme nous l'avons supposé, la fonction f{x) est continue, le produit {b — a) f{x) passe par toutes les valeurs comprises entre m{b — a) et M(6 — a) et, en particulier, il y aura une valeur | de ^ comprise entre a et b, telle que l'on ait

f{x)dx = {h — a)f(c), (7)

C'est dans cette dernière égalité que consiste le premier théorème de la moyenne; elle suppose essentiellement^ rappelons-le^ l compris entre a et b.

Si l'on désigne par F [x) une fonction primitive de f{x), l'égalité (7) peut s'écrire

Yijj) ~ Y{a) = {b- a)n^ ;

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on retrouve ainsi le théorème des accroissements finis (t. I,

9. Considérons maintenant une fonction ^{x) qui reste positive pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b, et conservons les notations du numéro précédent ; on aura encore

Mcp(fi) (a^i + , — Xi) > cp(^;) f{h;) (xi + 1 - x,) > ?n<f{^i) (a^i + , — a-;)

En faisant la somme de toutes les inégalités analogues pour i = 0, 1, 2... 71 — 1, et passant à la limite, comme le veut la définition de l'intégrale définie, on trouve

M / o(oS)dx >> I f(ci:) '~ii[x)dx >> m 1 ^(o:;)dœ.

On peut encore écrire, pour les mômes raisons qu'au n° 8

^{x)f{x)dx = fi^) 'f{x)dx, (8)

^ étant compris entre a et b. Nous donnerons à cette égalité le nom de second théorème de la moyenne (*). Ainsi l'intégrale

dans laquelle on suppose x et k^ inférieurs à l'unité, est égale à

1 / dx

(*) On réserve souvent ce nom à un théorème un peu plus compliqué, dû à 0. Bonnet, dont nous n'aurons pas à faire usage.

c'est-à-dire à

arc sin x

On peut encore écrire, en remplaçant \ par zéro et par un successivement,

do: arc sin x

Objet du calcul intégral

10. Le calcul intégral a pour objet de déterminer les intégrales indéfinies connaissant leurs différentielles^ de calculer les valeurs des intégrales définies, même dans les cas où l'intégrale indéfinie ne peut être obtenue, d'étudier les propriétés des intégrales indéfinies lors même qu'elles ne peuvent ôtre exprimées à l'aide d'aucune fonction antérieurement connue, d'étendre cette étude au cas où la variable devient imaginaire. Des problèmes analogues se posent avec plusieurs variables. On sait encore déterminer certaines fonctions, connaissant une relation dite équation différentielle, entre la fonction et quelques unes de ses dérivées, traiter le même problème lorsque plusieurs fonctions d'une variable sont reliées par un même nombre d'équations différentielles, étudier une fonction de plusieurs variables étant donnée une relation, dite équation aux dérivées partielles, entre ses dérivées de divers ordres par rapport à ces variables, s'élever enfin au cas de plusieurs fonctions satisfaisant ù un système d'équations aux dérivées partielles. Chemin faisant, nous rencontrerons d'autres recherches suggérées par les problèmes dont il vient d'être question. Ce premier chapitre sera consacré à la recherche des intégrales indéfinies qui peuvent s'exprimer à l'aide de fonctions anté-

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rieurement connues, c'est-à-dire, au fond, à la recherche des fonctions primitives ; nous écrirons

f(a;)dx

au lieu de

le changement de la limite inférieure n'influant que sur la constante arbitraire qui doit être ajoutée à la fonction primitive.

Extension de la notion d'intéarale définie

11, La fonction / (x) a été, jusqu'à présent, supposée continue et bien déterminée. On peut, dans une certaine mesure, supprimer la première condition. D'abord, il est évident que f[x) peut avoir un nombre fini de discontinuités dans le champ de l'intégration. Supposons, en effet, que pour x = œ^, f[x)

saute brusquement de la valeur pB

à la valeur pC, l'élément de la somme (1),

qu'on peut faire correspondre à

JC ^ ^^^ OC Q — £ et 30 1 i . zz^: OC Q ~-\- £ ^ X6IÎQ.

vers zéro, quelle que soit la valeur

donnée à f{^^, lorsque s et z tendent vers zéro ; sa valeur

n'influe donc pas sur la somme ^ f{^i){xi^^ — ■ï';). L'intégrale

représente encore Taire aABGMfjia.

FlG. 1

12. En second lieu, admettons que, pour x = x^, f(x) devienne infinie. Ici il faut y regarder de plus près.

Reprenons l'égalité (4) que nous écrirons ainsi

L'intégrale intermédiaire

*^ SCo — E

qui tend vers zéro en même temps que e et t' lorsque f{x) demeure finie, perd toute signification^ en général, si f{x) devient infinie pour x = x^. Supposons alors que les intégrales

f {x)dûc et / f{œ)dx

^ Xo + s'

aient, dans les mômes hypothèses, des limites bien déterminées ; nous prendrons pour définition de l'intégrale définie l'égalité

■»Xo — s ^b

f{oo)dx = \\m. I f(x)dcc -^]im 1 f[x)dx. (9)

«^' Xo + z

rtCCo + s'

Cette définition ne suppose pas que l'intégrale / tende

*^ Xo — Z

vers zéro ; mais, si cette dernière intégrale tend vers zéro lorsque s et e' tendent d'une manière quelconque vers zéro, les

^x„ r>OCo + s'

intégrales / et . / tendent évidemment vers zéro ; les

et, /

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intégrales qui figurent dans le second membre de l'égalité (9) ont des limites et cette égalité s'applique.

13, Considérons par exemple l'expression

L'intégrale indéfinie de x^dx est

et l'on aura (n'' 3)

/ X dx =

__ i-(- ir+^

Mais il faut, pour que cette formule subsiste, que x'^ ne devienne pas infinie dans le champ de l'intégration, c'est-àdire que a soit positif, ou, si cet exposant est négatif, que les conditions exposées au n° 12 soient remplies.

Dans ce dernier cas, x'^ devient infinie pour a; = 0, et nous avons à examiner l'intégrale

tX/ \A"JU ———

lorsque e et e' tendent simultanément vers zéro. Pour que cette intégrale devienne nulle, il faut et il suffît que l'exposant a + 1 soit positif, ce qui donne la condition

On a alors

comme dans le cas où a est positif.

Si a == — 1 , on a ^* = - ,

dx ,

— = log X,

ce qui exige essentiellement que x soit positif. L'intégrale

n'a aucun sens jusqu'à présent.

x'^dx et / x'^dx

sont infinies et leur somme n'a aucun sens.

14. Les limites de l'intégrale ont été, jusqu'à présent, supposées finies. Faisons maintenant croître à l'infini la limite supérieure b. Si l'intégrale tend vers une limite, on aura, par définition.

f{x)dx = lim / f{x)dx.

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