H ."C log X

, = log tang o -

1 + x" log X ^ ° 2?i

/ a;"""^ log X 1 -K^

I T — dx = ^—, —

j X — 1 sin- a~

/ -^^-^^- '' rf^ = 2 ('og 2)- - :j-2

à condition que / ^^-^ dx tende vers zéro pour h = zc .

C03 hx j &"~^ T^

^ ^ 2 cos -VT- ^ ■

si n hx , 6" ~ ^ jï

Dans ces deux formules r(n) désigne la fonction Eulérienne

jj = oc î?(?i H- l) ... (?l + JJ ■ — 1)'

e- "" loo; mi' = I 1 H- X H- ... -H - *^o '^''

rr^0,37721S6649....

log \\-iMx = log \/27r

log ra.'c?a? = a log (« — 1) H- log y' 2-

Soit

on a

Keelificatioii d'arcs de eoui*l>e

S68. Cycloïde (Tome 1'^' n« 286) : s = Sa sin^ J-

0 a s = \/8acG -+- C

Longueur d'une branché complète : P = 8a

Epicycloïde (II n^ 212) : s = la (^^^ -+ l) (l — cos |) ;

Lonofueur d une branche : l = — ^ — — '

cos-^

Ilypocycloïde (II n^ 21 2) : s = ia(l — ") (i

Parabole [if = iax) : s == a I ^ — log !ang ^ j^

(avec lang a = y'^)

s = \/ ao: + ^,2 4- a log \\/ x -^ \Ui -\- x) -\- Ç^

Spirale logarithmique : (p = ae'"") s = ^-- P -+- G.

Lemniscate f = la^ cos 2w (P longueur totale) :

Hélice : {0: =r a cos 0, ?/ = a sin Ci), ■:- z=. mao)

s = a. V 1 -+- m^.cp.

Loxodromie : (sin o(e"'î' -h e~^'^) == 2}

.=«.i^i±Ji:(o-oj.

306 CHAPITRE VlU

Chaînette : ,/ = M e« + ^ « \ 5 == ^ e« g

ïractrice \ x -^ \/ a- — xf = a log ^'^ "^ ^ ^^' ~l1L:

^/a^ -2/^+^ = 0 s=alog|.

Spirale d'Archimède (p == «to) :

-5 = 4j \/\ -h oj2 + ^^ log (w 4-/1-1- co^) 4- C

Cardioïde [p = «(1 -h cos w)] : 5 t= 4 a sin ^ + C.

r=(i) Courbe à m boucles (o"' = 2'" - 'a''' cos tiuo) : P = — )^

Hypocycloïde à quatre rebroussements ou astéroïde

' . f 3^ SaU , ,, j;- -h t/'* = «3 I 5—, — 1 (^

Cissoïde ( y- = 9~z:r

5 = 2a 4 /^~- —^^ -i- a /3 log V-^— '^ + G.

Serret, dans le XXXV^ Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, a fait connaître toutes les courbes dont l'arc s'exprime par un arc de cercle et dont les coordonnées rectilignes sont des fonctions rationnelles de la tangente trigono-

iinétrique de cet arc. Nous nous bornerons à énoncer quelques résultats. Soit s l'arc, g une constante ; posons

^ = tang- -

X, élant une racine de l'équation

Les coordonnées d'un point de la courbe x ç\ ij seront les |jarties réelle et imaginaire de l'expression.

Le cas particulier de vi = 1 a été traité par Euler ; si l'on pose

o=Vx-^tj-, R = * /p2 ^2^: —

ff-

•on trouve pour la valeur de x -t- iy

{? — g -^ Rf) I (?ï 4- 1)? —

Si co désigne l'argument du point en coordonnées polaires, on a en particulier

pour n = i p"^ 4- 6 p — 2 = 3 f y/s cos co

pour n = 2 p'^ | 14 p2 8 p -+- 1 = 8 r' cos co.

Aires planes