SG = GN
FiG. 37
Cycloïde
OG = ^a.
Arc de cercle d'angle 28, le ra3^on du cercle étant a
distance au centre.
Secteur circulaire
OG = a
sin 6
Zone : le centre de gravité est au milieu de la hauteur Tranche sphérique ayant h pour hauteur el « et Z» pour rayons des bases. Soit z la distance au centre
Hémisphère
Clotoïde. — Cette courbe a été rencontrée par Fresnel dans l'étude de la diffraction ; elle a pour équations
et l'on voit que «a est l'angle de la tangente en un point avec l'axe des œ. Son arc a pour valeur s = a \/2cp ; le rayon de
courbure en un point p = — . Les coordonnées du centre de
gravité sont
^ = ce — p sin cf n = y — p (1 — cos cp)
Moments triiierlîe (')
S7S. Dans les formules qui suivent, le moment d'inertie est désigné par la lettre T. Sauf avis contraire, pour les surfaces de révolution, le moment d'inertie est toujours pris par rapport à l'axe.
Poutre droite à section rectangulaire par rapport à son axe longitudinal
l = o (a^ H- &') aàc
Sphère par rapport à un de ses diamètres
^ Stt R° Tore
271 p a^ H- 5 Ti^ a'^ h
(*) Un grand nombre des résultats qui figurent dans ce n" sont empruntés à l'ouvrage de M. Jean Résal sur les Ponts Métalliques (Encyclopédie des Travaux Publics, fondée par M. Lechalas).
Moment d'inertie d'un rectangle ayant pour côtés «, h, par rapport à la perpendiculaire au milieu du côté b
I = l-^ aP
Même rectangle avec un évidement rectangulaire et concentrique ayant pour côtés c parallèle h a ei d parallèle à b
(a5" — ccP)
Losange par rapport à la diagonale a, les longueurs des diagonales étant a ei b,
I = j-^ ab^
Polygone régulier de n côtés et de rayon R
I = s R* sm — 7 cos- h TTi sin'' -
2)oî/ô/e T
FiG. 39
Moment par rapport à ox ï^ = j^ {a¥ — cd^)
Moment par rapport k oy I^ == œ^ [h — d) -h d {a — cY
Cercle plein, par rapport à \
un diamètre 4 "
Couronne circulaire
Ellipse pleine, par rapport 1
a son axe 2a 4
On rencontre en mécanique, et dans l'étude de l'électricité ou du magnétisme, des fonctions qui jouent un rôle très important. Pour faciliter l'étude de ces fonctions, nous établirons d'abord deux formules fondamentales.
Traiisforiiiatîon trintégrales de voliiiiie
en intégrales de snr l'ace
Formule d'Ostrogradsky
S73. Nous allons démontrer la formule
^y èzj •' \ (1)
= S(P cos a -t- Q cos p H- R ces y)o?^-
Dans cette formule, l'intégrale triple est supposée étendue à un volume V fermé par une surface (S) ; l'intégrale double s'étend à cette surface, a, p, y sont les angles que fait respectivement avec ox,oy,oz la demi-normale extérieure à la surface (S). Les fonctions P, Q, R sont des fonctions à-'x, //, z continues sur (S) ; elles sont continues ainsi que leurs dérivées dans tout le volume V.
Nous supposerons d'abord que la surface (S) soit convexe. Considérons l'intégrale triple
• dxdych
ÙX -^
Intégrons d'abord par rapport à x, depuis x^ jusqu'à x^, œ^ et ^2 étant les abscisses des points oiiune parallèle à ox rencontre la surface (S) ; nous obtenons pour valeur de l'intégralfr
[P{œ„y,z)-P(x„ij,z)]dyd0. (2)
Mais, au point Xi,, y, z on a (n° 203 form. 27)
dydz =r — d<j cos a,
et au point x^, y, z
dydz = d<7 cos a.
L'intégrale (2) peut donc s'écrire
SP cos a d<y,
L'intégration s'étendant à toute la surface (S). On démontrerait de même que les deux termes suivants dans Tintégrale triple (1) sont respectivement égaux aux deux derniers termes du second membre.
Si la surface (S) n'est pas convexe, on opérera comme au. n° 207 ; la formule (l) s'applique donc à tous les cas.
Formule de Greeii S74. Dans la formule (1) d'Ostrogradsky, posons
et introduisons le paramètre différentiel de Lame (I n° 111)
, „ i^^V û^V o^V ^ i\r- oî/- i^.i-
nous obtenons la formule
— -- -f- — . f- — •- dxdijdz ) 3
= S — COS a H COS p H COS Y y/c7
\dx ï>y ^5" '/
Une nouvelle notation permet de simplifier l'écriture de cette importante formule. Appelons dérivée de la fonction V au point M(^, y, z) dans la direction MN, la limite du rapport
Y{x', y', s') — \{cc, y, z) MM'
W{x', y', z') étant un point infiniment voisin de M sur MN, du
dW côté positif. Posons MM'= dn : cette dérivée s'écrira ^. Or on
a évidemment
rfV ôV dx ôV dy ôV dz ^V î>V . ôV
T— = î 1 ~ -\ ■ -y-= — COS a -r -- COS S H- — - COS Y,
an 007 dn by dn ^z dn ^x ^y ^ ^z "^
la formule (3) s'écrit donc, si MN est la direction de la deminormale extérieure,
5U ;)V bU ôV bU (^V\ , , ,
—-- 1 h-r- ;— dxdiidz
^x ^x î<y ù!/ ^5- ^>zj -^
-^111 U^,Ydxdydz = ^l]^'^d<j (4)
Telle est la formule qu'on désigne souvent sous le nom de formule de Greeii; uiSiïs on désigne aussi sous ce nom celle qu'on en déduit en échangeant les lettres U et V et en reIranchant l'équation obtenue de la précédente
K"^' S - V s)* = / / / (UXV-VA.U>M,rfz
A vrai dire, {^formule de Green s'applique de préférence à la normale intérieure ; il faut donc, pour l'obtenir, changer les signes du premier membre et écrire
K^Tn-^f^y'-"- / / (UA,V-VA,UUZa.c^yf^5 = 0.(o)
Elle s'applique à tous les volumes possibles, limités ou non par plusieurs surfaces distinctes. Par exemple, si le volume est compris entre deux sphères concentriques, pour la sphère extérieure la normale sera comptée vers le centre ; pour l'autre sphère, elle sera comptée en sens contraire.
Pour établir la formule de Green, nous avons supposé les fonctions U, V continues, et bien déterminées ainsi que leurs dérivées dans tout le champ de Tintégration. Nous n'examinerons pas comment il faut modifier la formule dans le cas contraire ; mais l'exemple que nous allons traiter suffira à faire comprendre comment on doit opérer si l'on rencontre des discontinuités.
STS. Considérons deux fonct'ons U et V telles que, dans tout le champ de l'intégration, on ait
A^U^O et AaV^O;
la formule (3) deviendra
S(u^|-Vf)., = 0 (6)
Soit d'abord U = 1, cette égdlité se réduit à
cm
Soit maintenant
y/{oc — aY-^{y — hY-\'(^z — c)- r
Si le point a, h, c ne fait pas partie du champ de l'intégration, U ne deviendra pas infinie, on a d'ailleurs identiquement
Donc, pour toute fonction V telle que Ag V = 0, on aura par la formule (6)
SV y'- c^a = 0
an
Si le point A {a, b, c) fait partie du volume, on commencera par l'entourer d'une sphère s de rayon très petit dont il soit le centre; soit s' l'ensemble des autres surfaces qui limitent le volume. L'équation (6) s'écrit
^^\rd^-^' d^J '^' -^ ^'-'Y dn
et elle s'applique à condition d'exclure du champ de l'intégration le volume intérieur à la sphère s et de prendre les dérivées sur la normale extérieure à cette sphère. En changeant lé sens de cette dernière normale, on devra écrire
S , \ * ^ V — ) C^a' = S ( ! ^X V ~ ^' \ r dn dnj ^ \r dn dn ^
Calculons le second membre ; comme r est constant sur la sphère, il se réduit, à cause de (7), à
- S^ V 'h cU dn
Mais .
^r i dr ï , .
-y- = .7 -y- == -ô COS (r, 11)
dn r- dn r- ^ '
etj sur la sphère
COS (r, lï) = 1 ;
l'intégrale précédente s'écrit donc
Or, comme on peut prendre le rayon de la sphère aussi petit que l'on veut, V est infiniment voisin de sa valeur V (a, 6, c) au point A, et l'intégrale peut s'écrire
L'on a donc enfin la formule fondamentale
V(«,6,c, = ,is,,(^vJ|,'4y... (8)
Elle fait connaître la valeur de la fonction V en un point quelconque du volume en fonction de ses valeurs et de celles
de -r- supposées connues sur les surfaces limites. Bien entendu, il faut que V satisfasse à l'équation
276. On peut résoudre le même problème si la fonction V satisfait à l'équation précédente en dehors de la surface s' ; il
faut alors supposer que VR, R^ J^, R2 ^, R2 ^ ont des mo-
dules inférieurs à un nombre fixe M lorsque R croît à l'infini. Le poiat A est compris entre la surface 'sl et une sphère s de rayon R suffisamment grand. En isolant le point A par une sphère de rayon infiniment petit, on voit, comme précédemment, que
La première de ces intégrales est nulle en vertu des hypothèses faites ; car elle peut s'écrire
2 • qF^^cos {r, n) l/dY dx o?V dij ^d'S dz'\\ , , [ r^ r\dx dn cly dn '' dz dn/j ■'
- tend vers l'unité ; V tend vers zéro ainsi que les trois produits R ^ , R ^^' , R -^7- 11 reste donc
dx dij dz
V(a,5.c) = jiS,,lV^;-lf j.^,. (9)
comme dans le premier cas ; seulement ici les dérivées sont prises sur la normale extérieure.
On démontrerait d'une manière analogue que, si U est discontinue en un point {a, b, c) et si l'on désigne encore par V {a, b, c) la valeur de V en ce point, la formule (5) de Green doit s'écrire
\ an an
•^ 1 l l (UA^V— VA2U)c?^cf?/(/^-t-47rV(a,&,c) = 0. (10)
Définitions
2117. Soit F une force appliquée au point A (a, b^ c) ; soient X, Y, Z les composantes de cette force suivant trois axes de coordonnées rectangulaires. On sait qu'on appelle travail élémentaire de la force pour un déplacement </«, dh^ de du point A l'expression
\da H- Xdb + Tdc ;
mais cette expression n'est pas en général une dilîérentielle exacte et nous avons vu (n° 103) les conditions nécessaires pour qu'elle le soit. Supposons ces conditions réalisées et soit V la fonction dont l'expression précédente est la différentielle
cfV = Xc/a -h Y(iZ> -h Zdc ; on aura alors
^-ô¥' ^-ôô' ^-ôc- ^^^^
Si, au lieu d'une force, on a un système de forces appliquées au point A, et si le travail élémentaire est encore une différentielle exacte, les projections de la résultante sur les axes seront encore données par les formules (H).
On dit alors qu'il existe une fonction des forces ou encore que les forces ont un potentiel (*) V.
Donnons un exemple emprunté à l'attraction Newtonienne ou, ce qui revient au môme, à l'électricité.
(*) Quelques auteurs distinguent entre les mots potentiel et fonction potentielle ; nous n'avons pas cru devoir les suivre dans cette voie. Clausius apiielle fonction potentielle, la fonction de force lorsqu'au point A se trouve une masse égale à l'unité de la matière agissante.
^ÎS. Soient A et M deux points, ayant pour coordonnées respectivement «, ô, c et ce, y, z ', soit r leur distance
r = \/(x — aY-+-(ij — by-^(z — cy. (12)
Désignons par m et m' deux coefficients attachés aux points A et M (masses) ; la force attractive ou répulsive qui s'exerce entre A et M a pour expression
/ étant une constante numérique positive. Pour pouvoir préciser le langage, nous supposerons qu'il s'agisse de V attraction Neivtonienne et nous donnerons au point A la masse 1 (m = 1) ; l'attraction exercée sur le point A a donc pour expression
€lle est dirigée de A vers M.
Ses composantes suivant les trois axes seront
On aura évidemment
Hcla + Ydh + Idc = d. ^
et par suite le potentiel sera Plus généralement, soit
F = cp(r) Calcdl infinitésimal 25
l'expression de la force dirigée vers le point A. Les composantes seront
X = -— cp(r), \ = — -^—^ cp(r), Z = p— cf (r>
et si l'on pose
V= / o[r)dr,
on aura encore
da' dh' ^ de'
Si l'on a un S5^stètne de points agissants sur le point A, il faudra composer toutes les forces telles que (13) ; leur résultante aura pour projections sur les trois axes
Le potentiel aura pour expression
ou, plus généralement,
V = 2 /"^ (r) dr, et l'on aura encore
■^ fia "do ï>c ^ ^
Potenliels-voliiiiies
219. Supposons maintenant que le S3^stème attirant soit une masse continue ; on doit la conside'rer comme composée
d'une infinité de masses infiniment petites. Soit ch<i un volume infiniment petit autour du point x, y, z et soit p (,^, y, z) la masse de l'unité de volume, ou la densité en ce point ; nous supposerons cette densité essentiellement finie. Ce volume exercera sur le point A une attraction représentée par l'élément
r p (x, y, z) (ho
ou, plus simplement, en supposant la constante / égale à l'unité^ par
P {œ, y,^z) dto Le potentiel est l'intégrale triple
Y =- r / fti^l^ f ) ^co = s ti^LliA) ch., (17)
le champ de l'intégration comprenant toute la masse attirante. Nous allons encore montrer que les dérivées de V sont égales aux composantes de l'attraction exercée sur le point A.
280. 1° Nous supposerons d'abord que le point A ne fait paspartie de la masse attirante. Dans ce cas, aucun élément de l'intégrale (17) ne devient infini et l'on peut, sans précaution, différenlier sous le signe S. On aura donc, en écrivant p au lieu de p [x, y, z),
i^a ' da
ou, en effectuant.
^-Y = Sp. '^^-^C^co; (18)
on aura même deux autres égalités.
Le volume élémentaire (16) exerce sur A une action dont la composante suivant ox a pour expression
on a donc encore, en désignant par X, Y, Z les composantes de l'attraction totale.
Y ^V ^ ôV ^v
ôa ô& ' (>c
Ce sont les formules (13).
38 1. 2° Supposons maintenant que le point A fasse partie de la masse attirante. Nous allons démontrer que, dans ce cas encore, non seulement le potentiel, mais aussi ses dérivées du premier ordre sont finis et continus.
A cet effet, employons les coordonnées polaires définies par les formules
X — a = r cos 6 cos 'h ]
y — b ^= r cos 6 sin ^h > (19)
z — c = r sin 6 ; ;
l'élément de volume a pour expression
doi = r^ sin ^drd^d'l/,
et le potentiel (17) devient
V = Spr sin 6 drd^d'h.
Il ne renferme plus aucun élément infini, V est donc fini. Considérons maintenant la quantité
X = Sp ^^ d.., (20)
qui figure dans le second membre de l'égalité (18); par la même transformation de coordonnées, on lui donne la forme
X = Sp sin 0 cos e (irt^ec^']^. (21)
FORMULE DE GREEX. PÛTENTlEf. 389
Cette quantité est encore finie ; mais il n'est plus permis d'affirmer qu'elle est la dérivée de V, parce qu'on l'a obtenue par une différenciation sous le sigae S. Pour établir ce point, nous décomposerons la masse att.rante M en deux masses M^ et M^, l'une M^ étant très petite et contenant le point A ; à ces deux masses correspondent deux potentiels V^, V^ tels que
Les attractions correspondantes ont pour composantes, suivant ox, Xj, Xa et l'on a évidemment
