X. = Xj 4- X

Considérons dans la masse Mi un point A'^ très voisin de A, sur une parallèle a ox et soient Y', V'j, Y'^ les potentiels correspondants relatifs aux masses M, Mj, Mg. Nous aurons

Aa Acï A« '

on a évidemment, M 2 étant une masse extérieure à A et à A',

X, == lim

lorsque Aa tend vers zéro.

D'autre part, si l'on met X2 sous la forme (21), il est évident que X2 a pour limite X lorsque le volume de la masse

Mj tend vers zéro. Si donc nous pouvons prouver que ' '

Aa tend vers zéro avec Aa, il sera établi que

V — V Cherchons une limite supérieure de — — •- ^ ; on a

Aa Aa \^ ^7 ^« ''''

Soit P un point quelconque de la masse Mj ; dans le triangle PAA', on aura

AA' = Aa > I r' — r \ .

Donc

\a ^ rr ^ ' \r- r 7 dans le dernier membre, l'intégrale se décompose en deux

op -^, , et 00 —-

qui sont finies comme on le voit en prenant des coordonnées polaires dont le centre est A pour la première, A' pour la seconde. Ces deux intégrales e:tant finies tendent vers zéro lorsque le volume de la masse Mi tend vers zéro, ce qui établit la formule (22).

S8!a. Tl résulte immédiatement des deux numéros précédents que la force a pour expression

c'est-à-dire qu'elle est égale au premier paramètre différentiel de Laine A,V.

583. Le potentiel V, étant fini et déterminé, ainsi que ses dérivées premières, dans tout l'espace, est une fonction continue des coordonnées du point A.

584. Le potentiel et ses dérivées premières tendent vers zéro lorsque le point A s'éloigne à Cinfini.

Posons

Le potentiel peut s'écrire

V = ;^ !5p - chi ;

lorsque R devient iniini, le rapport — tend vers l'unité. Le

produit R X V tend donc vers une limite finie, qui est la masse attirante M, et le potentiel V tend vers zéro comme

^ , oUy plus simplement, comme „ •

De même, on aura

y\- — = op -^- — ato ;

-^ tend vers l'unité, ^JZL£ tend vers le cosinus de l'angle a

que fait avec oœ la direction dans laquelle A s'est éloigné à rinfmi. On a donc

lim R- — = — M cos a.

Les dérivées premières du potentiel tendent vers zéro comme

285. Passons aux dérivées secondes. Il n'y a encore aucune difficulté si le point A ne fait pas partie de la masse ■attirante. On peut encore dériver sous le signe S et écrire (18).

^Spc^.[3l^,ii^-,!3] } (23)

Si l'on ajoute ces trois égalités membre à membre, on obtient la célèbre Equation de Laplace :

^ ba~ i>o- ôc- ^

S86. Si le point A fait partie de la masse attirante, le? dérivées secondes sont indéterminées en ce point parce qu'elles ont un élément infini et rien de ce qui a été établi au paragraphe précédent ne subsiste.

Nous mettrons alors la dérivée première [sous une autre forme. On a, dans tous les cas,

ôV i I I ^?

d'où

^a f f ! ' àa

D'autre part on a vu (n° 273) que toute intégrale triple peut être remplacée par une intégrale de surface

f — d.vdydz = 1 1 Vdi cos (N, cv). Posons U = 0 X ; la formule précédente devient

- odz cos iN, ..r , \

et, par suite, on a

j j Idx ^^^^^^^^ ~ / / ^ ' '^' '°' ^^' "^^^ ^^"'

iW^ , / / i 1 ô.o , , , / / 1

ôV

Cette formule a l'avantage de présenter — comme une

ôa

somme de deux fonctions dont l'une est un potentiel-volume ; l'autre ne contient plus d'élément infini, comme on s'en assure facilement. Prenons alors de nouveau les dérivées par rapport ha:

'^J dœdydz —

p — ;3 — drs cos (N, x) ;

mais la deuxième intégrale contient un élément infini, parce que, si A est sur la surface, on a, en assimilant la surface à un élément plan dans le voisinage du point,

da ■=■ rdrdQ.

La seconde intégrale est donc indéterminée ; mais formons AoV

f>o i» — a ^p ?,/ — b i>o z — c àcc r hi/ r t)5' r

cos(N,a:)

dxdydz-

cos(N, y) + ^^— ;— cos(N,3-)

ôp 07 — a hp ri — h

l)Ç) Z — C ùp