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ne peut prendre dans cet espace que des valeurs comprises entre la plus grande M et la plus petile m des valeurs qu'elle prend sur les surfaces limites. En etfet, supposons qu'elle puisse atteindre en un point 0 de cet espace une valeur u^^ supérieure à M

Sur tout rayon mené de 0 à la surface limite il sera, à cause de la continuité, possible de trouver un point P en lequel la fonction u prenne une valeur ii^ assignée d'avance entre z^o et M. Le lieu de ces points P sera une surface fermée ; la fonction u, constante sur cette surface, satisfera à toutes les conditions du premier corollaire. Elle sera donc constante dans tout l'intérieur de la surface, et, en particulier, en o où devra avoir la valeur u^,, ce qui est contradictoire avec la supposition qu'elle a la valeur z^o-

292. Revenons au théorème pour examiner le cas d'un champ infini. Il s'agit de démontrer qu'il ne peut exister deux solutions distinctes satisfaisant aux conditions de Dirichlet.

En effet, s'il existait deux solutions distinctes s'annulant à l'infini, il serait possible d'assigner une sphère de rayon très grand sur laquelle leur différence u aurait des valeurs inférieures à un nombre £ fixé arbitrairement. Cette sphère renferme les autres surfaces limites sur lesquelles la différence est nulle ; d'après le corollaire précédent, la fonction u ne peut prendre entre la sphère et les surfaces limites que des valeurs comprises entre s et zéro. Gomme e peut être pris aussi petit que l'on veut, ii est identiquement nulle.

29Î3. Le problème ou principe de Dirichlet consiste en ceci. On vient de voir qu'il ne peut y avoir deux solutions.

Mais en existe-t-il toujours une ? C'est la question que nous allons traiter en faisant observer que nous n'avons pas eu besoin de faire intervenir les propriétés du potentiel qui con-

sistent en ce qu'il .tend vers zéro comme -s, et ses dérivées

comme 0-3 •

Remarquons d'abord qu'il suffit de démontrer le théorème pour l'équation de Laplace. En effet soit

l'équation de Poisson ; elle admet une infinité de solutions, nous le démontrerons en étudiant les équations aux dérivées partielles. Soit Vq l'une de ces solutions, on posera

V =r Vo -+- W

et W satisfera à l'équation

Il s'agit donc de trouver une fonction satisfaisant à l'équation

dans un champ donné (d'un seul tenant ou non), et qui prenne des valeurs données sur les surfaces limites qui limitent ce champ.

11 existe évidemment une infinité de fonctions qui prennent sur des surfaces données des valeurs données. Soit W celle de ces fonctions qui rend minimum l'intégrale triple

"^v- . (^I\\l^iy u,.

'dxj ' \dy / ' \^

nous allons montrer que W est la solution cherchée. En efîet soit U une fonction qui s'annule sur les surfaces données ; la fonction