cos (N, r

Soit dS rélément d'une sphère de rayon im ayant le point A pour centre. On aura dans tout le volume

d(y) = r^dSdr., et sur toute surface limite

da cos (N, r) = r^dS.

La valeur de A^V devient ainsi

A,V^ / / (''-IdSdr- I I ?dS;

elle est dégagée de tout élément pouvant devenir infini.

Appelons po la densité au point 0 ; la première intégrale triple s'eiïectue en partie et l'on a

d'où enfin

Cette équation remarquable est connue sous le nom d'équation de Poisson; elle contient l'équation de Laplace comme cas particulier, puisque, dans le cas où le point A ne fait pas partie de la masse attirante, la densité po y est nulle.

287. On peut, de cette équation, déduire une autre formule célèbre, due à Gauss. En effet écrivons l'équation précédente

dxdydz = — 47: / / I p„ dx dy cl'^,

l'intégration étant étendue de nouveau au volume de tout ou partie. M, de la masse agissante. L'intégrale du second membre a pour valeur cette masse M. Quant au premier membre, il s'écrit, à cause de la formule d'Ostrogradsky (n° 273),

cos (N, x) 4- — ces (N, y) h- ^— cos (N, z) | ch

l'intégration s'efîecluant sur la surface qui limite M.

Soit F la force qui s'exercerait sur une molécule de masse unité placée au point x, y, z de la surface, F» sa composante normale, X, Y, Z ses composantes suivant les axes. On a

^jc ùy 'i>z

F.V = X cos (N, ^) + Y cos "(N, y) -h Z cos (N, z).

L'intégrale précédente s'écrit donc

Il en résulte V équation de Gauss

Fk dz = 4- M.

Si l'on changeait le sens positif sur la normale, il faudrait •«-'crire

F„ c?a = — 4tc m. (27)

Cette équation se traduit par l'énoncé suivant. Considérons une surface fermée quelconque et multiplions chaque élément de la surface par la composante normale de l'attraction qui

s'exercerait sar une molécule de masse égale à l'unité placée sur l'élément ; la somme de ces produits est égale au produit par 4- de la masse attirante renfermée à l'intérieur de la surlace.

Surfaces de niveau

S88. On appelle surface de niveau le lieu des points A pour lesquels le potentiel conserve une valeur constante

V = V (a, h, c) = constante

La force (ï attraction appliquée en un point A d'une surface de niveau est normale à la sur/ace.

En effet la force a pour composantes X, Y^ Z et les cosinus directeurs de la normale sont proportionnels à

^ ôV ôX

c'est-à-dire à X, Y, Z,

On a de plus Fr=dz t--, cette dernière dérivée ayant la

signification du n° 275. Supposons maintenant le point A mobile dans l'espace ; le travail élémentaire de la force appliquée à ce point, a pour expression, comme nous l'avons dit, Xda H- Ydb H- Zdc = — dV et le travail total quand on passe de la surface de niveau V,^ à la surface V„ s'exprime par la différence

Supposons le point mobile venant de l'infini ; alors V, = 0, T = V,>

On voit donc que le potentiel en un point est égal au travail de l'attraction totale qui se serait exercée sur le point

pour ramener de Vinfini à la position qu'il occupe actuellement dans V espace. Cette propriété est souvent prise pour définition.

Les trajectoires orthogonales des surfaces de niveau, c'està-dire les lignes de flux ont pour équations

dx dij dz

Principe tle Dîrichlet

289. En résumé, le potentiel jouit des propriétés suivantes. C'est une fonction des coordonnées du point a, b, c, qui s'annule à l'infini ainsi que ses dérivées premières, qui est continue ainsi que ses dérivées premières dans tout l'espace et dont enfin les dérivées secondes vérifient l'équation de Poisson

Ces propriétés sont caractéristiques ; nous les appellerons conditions de Dirichlet. 11 peut même se faire qu'on ignore si en certains points isolés, ou sur certaines lignes isolées ou sur certaines surfaces, l'équation de Poisson est vérifiée. La fonction n'en sera pas moins parfaitement définie. Il suffît, pour le voir, de vérifier que la différence it de deux fonctions V et V', remplissant les conditions ci-dessus énoncées, est nulle dans tout l'espace.

On aura alors

Ag w = 0 ;

de plus li est nulle à l'infini et sur les surfaces limites ; elle est finie et continue dans tout l'espace. Multiplions les deux

398 CHAriTRK IX

membres de l'égalité précédente par iidi^i et inte'grons dans tout l'espace occupé par la matière active. Il vient

u A., uâf-o = 0 ;

ce qui peut s'écire, à cause de la formule (4) dans laquelle on fera V = U,

l'intégrale double s'étendant à toutes le.s surfaces limites.

Mais u est nulle sur toutes ces surfaces, donc l'intégrale double est nulle, et il en est de même de l'intégrale triple dans tout l'espace, à cause de (28) ; on a donc identiquement

^-1^ = 0 '-^; = 0 '1' = 0 ; oa ^b ùc

u a donc une valeur constante, et, comme elle est nulle sur les surfaces limites, elle est nulle dans tout l'espace.

Cette démonstration suppose les surfaces limites à distance finie, parce que les hypothèses faites n'entrainent pas l'annu-

lation de 2< — c?c; à l'infini ; nous examinerons bientôt com-

ment il faut la compléter si le champ de l'intégration est infini. Mais auparavant nous établirons deux corollaires.

290. Premier corollaire. Soit u une fonction finie et continue ainsi que ses dérivées dans tout un espace limité, ayant une valeur constante C sur les surfaces limites, et enfin vérifiant l'équation

Cette fonction sera constante dans tout V espace considéré. En etîet la fonction u — G satisfait à toutes les conditions du théorème précédent. Elle est donc nulle identiquement.

Ce corollaire s'étendra de lui-même au cas d'un champ infini, dans les mêmes conditions que le théorème.

391. Deuxième corollaire. Une fonction u, finie et continue ainsi que ses dérivées dans un espace limité, et telle que