POTENTIEL

Ce dernier crochet est un polynôme en sin ô et cos 6 ; il prend donc la même valeur pour 6 .^ 0 et pour 0 = t:. L'intégrale est donc identiquement nulle. On verrait facilement qu'il en est de même du dernier terme de l'équation que nous intégrons sur la sphère ; il reste donc seulement

Y„ Y' sin e dd do = 0

ce qui est bien l'équation (40).

La démonstration suppose essentiellement n ^ n'.

309. Les polynômes X„ de Legendre (Chapitre IV) ou plutôt les polynômes P„ qu'on en déduit en y remplaçant x par cos to sont des fonctions de Laplace.

FiG. 40

Considérons en efïet un point A de coordonnées 1, G, cp sur la sphère de rayon im et point M (p',6Vf') quelconque intérieur : on a

fl

2 p' cos w) ^ ;

l'angle w des rayons vecteurs OA et OM est donné par la formule de trigonométrie sphérique.

cos w = cos 0 cos 6' -t- sin 6 sin 6' cos (cp — tp') (41)

on sait que la fonction V = - satisfait à l'équation (35); c'est

Calcul infinitésimal 27

une fonction de 9 et cp à cause de (41). D'autre part, si on la développe en série suivanlles puissances asceudantes de p', il résulte de la définition mêuie des polynômes de Legendre que le coefficient de p'" sera le polynôme P„, et comme Téquation A^ V = 0 doit être vérifiée quel que soit p', P„ est une solution de cette équation, c'est donc une fonction sphérique.

310. Le potentiel d'une couche sphérique quelconque de rayon R peut être développé en série ordonnée suivant les fonctions Y„. On a en effet

da étant l'élément de la sphère de rayon un ; si p est le rayon vecteur du point attiré A, on a

r = v/R^ — 2Rp cos to -h p^ Suivant que R est inférieur ou supérieur à p, on écrira

COS co H 5"

ou