COS

l'on développera - en série suivant les puissances ascen-

dantes de — OU de ^. On mettra ainsi le potentiel sous une p R ^

des deux formes :

pour l'extérieur Ve = S A„ ( — j

pour l'intérieur Vj = 2 B„ f ^ j .

L'équation Aj V= 0 ayant lieu quelque soit p, A„ et B„ sont encore des fonctions Yn, et le problème résolu.

311. On déduit de là le développement d'une fonction quelconque de e et de <f sous la forme d'une série de fonctions de Laplace

F (0, cp) =. Yo + Y, + Y^ + ... H- Y„ -h ...

Il suffit pour cela de concevoir que, sur la sphère de rayon un, on a répandu une couche active de densité F (0, cp) au point 6, cp.

Nous avons vu (n° 305) qu'on a pour cette densité la formule'

2iz\\cln) .^ \dnj \

'\7 O '^^'-yCtQ

l'intégrale étaat prise sur la sphère de rayon R. Nous venons d'apprendre à développer V en série de fonctions sphériques ; d'autre part

/^\ ___ /d\ \dn) + ~~ [dR

\dn)— [dR)-

On a donc tous les éléments de la solution sur laquelle nous ne nous étendrons pas davantage.

Théorème général

31!ï. On rencontre en mécanique et dans les applications de la physique des actions, d'une autre nature que les attrac-

tions newtoniennes, dont nous devons en dire quelques mots.

Soit en M (^,y, z) un élément agissant, masse vectorielle, assimilable à un vecteur MF dont nous désignerons la grandeur par la lettre F et les angles avec les axes de coordonnées par les lettres a, p, y. L'action laplacienne exercée sur un point A (a, ô, c) sera un vecteur $, perpendiculaire au plan

FiG. 41

AMF dans un sens tel qu'un observateur ayant les pieds en M et la tête en F le voie dirigé de droite à gauche : enfin la grandeur du vecteur sera

^ T-i sin 0

en désignant par 6 l'angle AMF, et par r la distance AM. Les actions laplaciennes se combinent entre elles et avec les attractions newtoniennes suivant la règle du parallélogramme des forces.

313. Cela posé, Vascb}^ (Traité d'électricité, chap. ITl) a démontré le très intéressant théorème que voici : tout vecteur f dont la grandeur et la direction sont déterminées , dans une région limitée U, en fonction des coordonnées de son origine suivant une loi quelconque, peut être considéré comme la résultante géométrique d'attractions laplaciennes et neivtoniennes dues à un système de masses données.

La démonstration repose sur la formule d'Ostrogradsky que

nons avons établie (n° 274) et que nous reproduisons, avec un changement de notation facile à saisir

{l<fu -+- lyiQV 4- n(fiv) c?ff = 0 ;

/, m, 71 désignent les cosinus des angles a, p, y Q^^ ^^^^ avec les axes la normale à la surface S. Cette surface S se compose de la ou des surfaces qui limitent la région U à laquelle s'étend l'intégrale triple ; elle peut même comprendre des surfaces de discontinuité intérieures à celte région et dont il faut alors considérer les deux faces successivement.

Le vecteur donné /"a pour projections sur les axes des fonctions données X, Y, Z des coordonnées. Prenons pour fonctions

II, V, IV dans la formule précédente les trois dérivés de - où

^2 ^ (ic — ay -i-{y — b) ^{z — cy-, et soit cp = X. Nous aurons

De même si l'on pose, dans la formule (42)

on aura

dy \^ ^os / dx\^ ^y

et, d'une manière analogue,

dz \ Î)£C

dx\ ^s .

Additionnons les trois dernières identités membre à membre ; comme l'on a

il vient

V/^ , ôY bz\ .j:A^^

007 \ fia? ~^ (^/y ^z) ày \di/ dx

(;X + ??iY + nZ)

-+- t£ (mX - lY) -^ £ (nX - IZ) 1 c^c

Isolons du volume total U une petite sphère ayant le point

A (a, h, c) pous centre : la portion de l'intégrale triple relative à cette sphère tend vers zéro avec le volume de la sphère si les fonctions X, Y, Z et leurs dérivées sont continues (ce que

nous supposons). Calculons l'intégrale 1 de surface sur la

sphère : on aura en tous les points de cette surface

(cv — af -+- (y — h)^ -t- (-g — cf y cl

X ^ = — 4- Xw2

en désignant par X™ la valeur moyenne de X sur la surface de la sphère. Revenons maintenant à l'équation (44) dans laquelle chacune des intégrales doit être considérée comme composée de deux parties,, celle relative à la sphère et le reste. Si le volume de la sphère tend vers zéro, les intégrales reprennent leur signification première : seulement le terme — 4tiX„j subsiste et tend vers — 47rX. On a donc finalement

■i"l + ~--U:-5Sj H»+ / / Js(«+mY+«Z)l

— IZ) d^.

(mX — lY) -h-^{nX

Imaginons maintenant huit fonctions définies par les égalités suivantes

, ôX c^Y ôZ 4^0 = \- 1

' t'.V 5?/ hZ

iTzl = a + viY -h nZ

hizx^ ^=nY —

7)lZ, 47:Xy = IZ — JlX, 4'

" '^^ ôy ôa-

l'égalité (45) devient

La première ligne représente la composante suivant ox de l'attraction newtonienne totale qu'exercerait sur le point A de la matière répandue dans le volume U et sur les surfaces limites, cette matière ayant pour densité en tout point M (^,y, z) du volume la valeur p et sur les surfaces la valeur X. Interprétons la seconde ligne de l'égalité (47) : à cet effet concevons au point M un vecteur F dont les projections sur les axes soient Pj., {jty, {la, si le point appartient à la région U, et t^, t^, -z^ si le point est sur une des surfaces qui limitent la région. Si ce vec" leur exerce sur le point A une action laplacienne^ elle sera représentée par un vecteur $ qui a été défini au n° 313. On vérifie aisément que ce vecteur étant perpendiculaire au plan AMF, a pour projections sur les axes trois quantités dont nous n'écrirons que la première

^ r^ ' - (■>?/ ^■' bz

il en résulte que les termes de la seconde ligne de l'égalité (47) représentent l'attraction laplacienne exercée par des masses

fictives dont la densité vectorielle est définie par les six dernières égalités (46).

314. Deux cas particuliers sont à distinguer. 1" Si les actions /^qui s'exercent en chaque point de la région U ont un potentiel, l'expression

\dx H- Ydy -H 7Az

sera une différentielle exacte et l'on aura identiquement

^X-ôY. !LX'^^0 î^^i^— 0-

les actions laplaciennes (46) n'existeront pas dans l'étendue ds la région U (Electrostatique).

2° On a dans toute cette région

&X ùY ùZ ^

ôa; i)// ^z

les actions fictives se réduisent à des actions laplaciennes (Electromagnétisme).

IVotions prélîiiîînaires

315. Les fonctions trigonométriques sont susceptibles de plusieurs définitions. Il est d'usage de les introduire dans l'enseignement en en donnant une représentation géométrique ; on étend cette définition en considérant les développements en série

sin a; = 0?

cos oc = l —

ou encore en les rattachant aux fonctions exponentielles par les formules d'Euler. De l'un ou l'autre de ces deux points de vue, on déduit aisément les formules d'addition et de soustraction ainsi que toutes les formules de la trigonométrie élémentaire. On peut aussi (n" 114 et suivants) considérer le sinus comme la fonction inverse de Va7'c sinus, cette dernière fonction étant définie par une intégrale

il revient au même de dire que la fonction y est définie par l'équation différentielle

'dx~ ^\ — x^ '

On a vu que cette fonction y est mal déterminée : outre la nécessité de fixer une constante, par exemple de dire quelle valeur prend y pour x = 0, k chaque valeur de x correspondent une infinité de valeurs de y, et l'on ne peut définir celle que l'on considère sans introduire des coupures (n° 109) dans le plan de la variable imaginaire x.

Il est essentiel d'insister sur ce fait que, si la fonction arc sin x est mal déterminée, son inverse sin x est uniforme. Nous avons vu (n° 125) que l'inversion des fonctions elliptiques procure le même avantage ; mais nous reviendrons sur ce point fondamental.

316. Montrons auparavant que la définition du sinus par inversion d'une i d'addition. Posons

l'inversion d'une intégrale conduit facilement à la formule

ou X =: sin u

ou y

l'équation différjentielle

dx dy

v/1 — a;^ /ï —y's'intègre à vue ; on n'a en effet qu'à prendre

c étant une constante arbitraire. On peut encore procéder autrement : l'équation (1) s'écrit

v/i — if dx + v/l H- «7^ dy = 0

le coefficient d'œy est nul et cette équation se réduit à la suivante

d {ce \/l — tf) -^ diy v/r=^) = 0, dont l'intégration est encore immédiate et donne la solution

c' désignant une nouvelle constante arbitraire. Si l'on considère c et c' comme des fonctions d'à? et d'y représentées par les équations (2) et (3), leur déterminant fonctionnel (n° 97)

ÔC

tiCO

est nul, comme on le vérifie sans peine. 11 en résulte que

Or si l'on fait y = 0, v est nul ; c se réduit k u et c' h x.

L'égalité précédente devient

x = f (u), et comme, d'autre part,,

X = sin u,

le signe fonctionnel / n'est autre qu'un sinus. Donc, en revc-

nant à réquation (4) et remplaçant les lettres par les quantités qu'elles figurent, on trouve

sin u \/l — siri^ v -+- sin v \/i — sin^ tt = sin {u -+- v). (5) C'est la formule d'addition des sinus. Si l'on pose cos V = \/l — sin^ V

cos w = v/ 1 — sin- u, on retrouve la formule connue.

317. Les formules (6) ne définissent pas sans ambiguïté les cosinus correspondants ; il faut encore convenir que, pour i^ = 0, on a cos î; = 1. Une fois cette convention faite, le cosinus est une fonction uniforme, malgré sa définition par un radical. Des incidents analogues se rencontrent dans la théorie des fonctions elliptiques.

318. Pour achever le l'ésumé des propositions relatives aux fonctions trigonométriques, propositions qui éclairent les théories à venir, nous rappellerons qu'on pourrait encore définir le cosinus par l'égalité

Les fonctions séc œ'el cosécx sont les inverses des deux précédentes ; la tangente et la cotangente en sont les quotients.

Il est de la plus haute importance de remarquer que la tangente d'un arc est une fonction périodique, dont la période est TT tandis que les fonctions dont elle est le quotient ont pour période 2-11:. En d'autres termes, lorsque l'arc augmente de -^^ la tangente reprend sa valeur initiale et, si l'arc continue à croître, la tangente repasse dans le môme ordre par les mômes valeurs, tandis que le sinus et le cosinus ne repassent par la môme succession de valeurs qu'après que l'arc s'est augmenté de 21^. On pressent alors comment il sera possible, en admettant des périodes imaginaires, de constituer des fonctions

doublement périodiques par des combinaisons de fonctions simplement périodiques.

319. Il est d'ailleurs aisé de montrer qu'une fonction uniforme ne peut pas avoir deux périodes réelles distinctes, les multiples d'une môme période étant exclus, bien entendu. En eflet, admettons d'abord l'existence de deux périodes commensurables entre elles, w et o/, et soit o leur plus grand commun diviseur. On sait qu'il est alors possible de trouver deux nombres entiers « et 6 tels que

flfco — iw' = 6.

Mais, si w est une période de la fonction, «w en est évidemment une, de même ôoV, donc aussi o ; et l'on voit que w et to' sont seulement des multiples d'une même période, c'est-àdire ne peuvent pas être considérées comme effectivement distinctes.

Admettons maintenant l'existence de deux périodes incommensurables to et w' ; on démontre en arithmétique qu'on peut toujours trouver des nombres m et n tels que l'on ait

I woj — ni<i' I <C ^»

quel que petit que soit t. Mais mw — ?2w' est une période. La fonction uniforme admettrait une période aussi petite que l'on voudrait ; ce serait une constante.

3S0. Nous ferons une dernière remarque. Nous avons jusqu'à présent parlé de fonctions ayant pour période 2r^

Mais il est aisé d'en déduire des fonctions ayant une période donnée quelconque w ; il suffit en effet de poser

La fonction

»(,)=/ (2, if),

est périodique et admet pour période m ; on a en effet

Première définition des fonctions elliptiques (*) Parallélograniine des périodes

321. On appelle fonction elliptique toute fonction méromorphe qui possède deux périodes. Aux méthodes que nous venons de résumer relativement aux fonctions trigonométriques correspondent trois méthodes pour étudier les fonctions elliptiques. La méthode géométrique, récente et artificielle (**) est peu employée ; nous la passerons sous silence ; mais avant de parler des deux autres, nous deyons donner quelques détails complémentaires sur les périodes. On vient de voir que les périodes ne pouvaient être réelles toutes les deux ; le même raisonnement montre que leur rapport ne peut être ni commensurable (sans quoi il existerait une période dont elles seraient simplement des multiples), ni incommensurable (sans quoi la fonction se réduirait à une constante). Leur rapport est donc forcément imaginaire.

Cela posé^ soient les deux périodes

2 coj = a -1- èî 2 aJ2 = c H- c?i ;

si l'on représente ces deux quantités imaginaires par leur affixes A et B, on voit que tous les points qui sont les affixes

(*) Aune première lecture, on peut passer les n°^ 322 à 330. (**) Voir par exemple le beau Traité d'Halphen sur les fonctions elliptiques.

des quantités 2 wwj h- 2 nw^ sont les sommets d'un réseau de parallélogrammes qui ont des côtés égaux aux modules OA

FiG. 42

de 2wj et OB de 2iù^. Un quelconque de ces parallélogrammes se nomme parallélogra?nme des périodes. Il suffit de connaître la valeur de la fonction en tous les points de l'aire d'un parallélogramme pour avoir les valeurs de la fonction dans tout le plan, puisqu'elle reprend les mêmes^valeurs aux points homologues.

Du réseau donné, qui est figuré en traits pleins, on peut en déduire une infinité d'autres, en joignant un quelconque des sommets, par exemple l'origine, à un aulre sommet. Les lignes tracées sur la figure en traits poinlillés et en traits mixtes donnent deux nouvelles directions qui, combinées soit entre elles, soit avec les directions primitives, donneront naissance à de nouveaux réseaux.

On appelle parallélogramme élémentaire un parallélo-

FONCTlOiNS ELLIPTIQUES 433

gramme qui ne renferme à son intérieur ou sur ses côtés aucun point-période. Par exemple A F D 0, 0 C D E^°ne sont pas élémentaires. Les périodes primitives sont celles qui sont représentées par les côtés d'un parallélogramme élémentaire. On conçoit l'importance fondamentale de ces périodes ; nons n'insisterons pas cependant sur ce sujet qui intéresse surtout les théoriciens.

Jacobi a démontré qu'une fonction uniforme ne peut admettre plus de deux périodes irréductibles entre elles ; le théorème est presque évident : en considérant un réseau de périodes primitives, on voit qu'il ne peut y avoir, en dehors de ses sommets, aucun point-période.

322. Théorème, Une fonction elliptique qui ne devient pas infinie est une constante.

En effet, la fonction étant limitée est développable dans tout le plan en série de Taylor. On aura donc, quelque soit /,

f{a 4- 0 = f{a) H- tf{a) + j^ /"'(«) + .••-+- £ f^%a) -h ... Mais l'on sait (n° 119) que

l'intégrale étant prise le long d'un cercle de rayon R et dont le centre est au point a, posons

z =z a -^ R^'cos cp -h i sin ») = a h- Re*''?, d^où

dz = "^ie^'^d^.

Nous aurons

Calcul liNriKiiÉsiMAL 28

43 1 ' CHAPITUE X

le modale de la fonction étant inférieur à un nombre M,. l'intégrale a un module inférieur à 2TrM, et l'on a

On peut prendre R assez grand pour que le second membre soit inférieur à tout nombre fixé s. Donc toutes les dérivées /(")(a) sont nulles et l'on a

ce qui démontre la proposition énoncée.

Il résulte de ce théorème deux corollaires : 1° Si deux fonctions elliptiques ont dans un 'parallélogramme de périodes, les mêmes zéros et les mêmes pôles, leur rapport est une constante ;

2^ Si deux foliotions elliptiques ont, dans un parallélogramme de périodes, les mêmes pôles et les mêmes parties infinies dans leur développement au voisinage de chaque pôle ^ leur différence est une constante.

On appelle fonctions elliptiques d'ordre n celles qui ont n pôles distincts ou confondus dans un parallélogramme élémentaire.

3!!S3. La somme des résidus dhine fonction elliptique par rapport aux pôles situés dans un parallélogramme est nulle.

Nous avons en effet vu (n° 127) que cette somme multipliée par 2Td a pour valeur l'intégrale.

f{z)dx

prise le long du contour donné. Ici le contour est un parallélogramme le long de deux côtés opposés duquel la fonction reprend la même valeur ; par exemple on a en deux points correspondants de A B et de G D

Mais, sur A B, ^ varie de z^ à z^, -+- 2 w^ et l'on peut poser z = Zç^-\-2i.ù t, tandis que sur G D il faut poser

^ = ^Q -i- 2 Wj -h 2 w, — 2 coj^, i variant dans les deux cas de zéro à un. En M et M', dz prend

FiG. 43

des valeurs égales et de signes contraires. Donc les portions de Fintégrale se détruisent deux à deux,

334. Une fonction elliptique a autant de zéros que de pôles dans un parallélogramme de périodes.

L'excès de la somme des zéros sur celle des pôles est égal à une période.

Le premier énoncé n'est qu'une application de la formule (21) du n° 128, puisque la fonction et sa dérivée reprennent la même valeur en deux points M et M' correspondants de deux côtés opposés.

Pour établir le second énoncé, il suffit de remarquer que Texcès à calculer a pour valeur [n° 128 formule (20)]

riz) ^^ '

aux points M et M' correspondants on a respeclivement les deux différentielles

^Ç^^dz et -(z-^2o,;)^^^dz

dont la somme est

Il faut intégrer le long du côté A B (ou C D) ce qui donne

-2o3,[iog/-(;^)]:,

et diviser par 2t2. Mais f{z) reprenant la même valeur en A et B, les deux valeurs du logarithme diffèrent seulement d'un multiple de2:iT^ soit 2/WoTcf ; le résultat de l'intégration suivant A B et D C est donc 2m^(^i^• De même suivant B D el G A, on Irouve 2miWj ; en tout on a

2mj('Ji -h 2m^(.o^,

c'est-à-dire une période.

Les roiîclioîis tBoisbîemeiit pérîodH|taes «lélînîes coiimie Inverses des intégrales eïîIpliqHes

3!35. C'est à Abel et à Jacobi que revient l'honneur d'avoir établi la véritable base de ces fonctions en eiïectuant l'inversion des intégrales elliptiques, jusque là seules considérées. Voici le principe de celte méthode. Soit, sous la forme canonique de Legendre (n° 49), l'intégrale elliptique {k réel et inférieur à l'unité).

on peut encore écrire

dux dx

à condition de convenir que, pour ^ = 0, on a w, = 0- Les équations (8) ou (9) établissent entre x et u^ une relatioQ de fonction à variable. Nous désignerons celte relation par la notation

ou par

X = sn u^ (*)

v, = arff sti.v

Nous avons vu (n'^ 121) que œ est une fonction méromorphe de l'argument Ui et (n° 126) qu'elle admet deux périodes distinctes ; on peut, par exemple, prendre pour lacets deux circuits

-ZCl-

FiG. 44

enveloppant l'un le point A d'abcisse im, l'autre le point B d'abcisse t, puisque ces deux points sont critiques pour l'intégrale (8).

(*) Jacobi employait la notation sin am u, cos am u et A (tin u, qu'on énonçait sinus amplitude, cosinus amplitude, delta amplitude. Guderman l'a remplacée par celle que nous donnons dans le texte {sn, en, (In) et qui est aujourd'hui généralement adoptée.

438 CHAPITRB X

Seulement pour former le lacet (OABAO), il faudra contourner le point A en suivant un demi-cercle de rayon infiniment petit afin d'éviter ce point. Soit alors

On revient en 0 avec la valeur initiale en suivant un chemin qui part de l'origine pour aller contourner le point A, revient en 0, tourne autour de A' et revient en 0, ce qui donne la période 4K ; on peut aussi commencer par tourner autour de A', puis autour de B en évitant le point A ; on aura ainsi la période 4K -f- 2 ili', ou plus simplement, en retranchant la période 4K, 2 iK'. Les périodes de s?iu sont donc 4K et 2 iK', c'est-à-dire qu'on a

Si l'on pose

sn (u^ -+- 4K) = sn u^ sn {u^ -1-2 iW) = sn Uy

en Wj = y/l s;^2 u^

dn Wi — /l k^ sn- Wi

avec la convention que en Ui = dn u^ = 1 pour ii^ -.= 0, on obtient deux nouvelles fonctions elliptiques uniformes dont les périodes sont respectivement,

pour en riy 4K et 2K -h 2 « K'

pour c?n i/j 2K et 4 { K'.

Nous ne nous attarderons pas à établir ces propriétés qui résultent d'ailleurs facilement du n° suivant. Les formules (15) peuvent s'écrire

A- sn^ ifj H- dn

et l'équation (9) ,

d sn iii

du,

cnu^ dnu^. (17)

En dérivant les équations (16), et utilisant l'équation (17), on trouve aisément

dcn u. ■ ,-. 3 —

— i — - = — sn u, en u. = — en u, i/l — ar u. du^ ' * '

d.dn Uy du^

k^ sn u^ cnui = — \/{\. — dn^ u^) {k'^ — \-\- dn^u^]

La première de ces équations pourrait servir de définition à cnui,, la deuxième à dmc^, en y ajoutant les conditions initiales, et l'on retrouverait ainsi la double périodicité déjà énoncée des fonctions en et dn.

En procédant comme au n° 317, on déduit de l'équation (9") la formule d'addition

sn u en V dn v -i- sn v en u dn u ,. q,

^ ^ 1 — k"^ sn^ u sn^ v ^ ^

- Nous reviendrons sur ce sujet dans la théorie des Equations différentielles ; bornons nous à faire observer que la formule fondamentale (18) permettra d'obtenir les formules de soustraction, de multiplication, et par suite de division, en faisant u = — u. M, lu etc. La marche est celle de la trigonométrie.

326. Les fonctions de Jacobi dont nous venons d'esquisser la théorie ont été découvertes les premières. Weierstrass a proposé de leur substituer une autre fonction que nous allons maintenant défmir ; sans entrer dans les raisons qui militent en faveur de son adoption, nous nous bornerons à constater que la plupart des auteurs Français contemporains lui donnent la première place (Halphen, Jordan, Tannery et Molk» Appell et Lacour, Lucien Lévy). Soit

La fonclion x inverse de u définie par celte égalité est désignée par la notation

x=.pu (20)

(Ji et //g sont dits les invariants de la fonction pu et l'on a, par définition, m = 0 pour a; = œ, c'est-à-dire /> (0) = oo .

Soient 2a)i et 210^ les deux périodes delà fonction/)?/ (n°126) ;, on aura

p{u + 2wi) =pu ) ,21]

p{u-h 20)2) =pu \ ^"^ '

Par suite tous les sommets du parallélogramme des périodes, y compris l'origine, sont des pôles de pu : on peut ajouter {n° 121) que ce sont des pôles doubles. Nous verrons plus loin que ce sont les seuls.

Il existe une relation simple entre cette fonction et la fonction. sn. Pour le voir, dans l'équation (8) posons (X et t étant positifs)

d'où

sjldt

21 ft

Cette équation devient

Posons alors

et déterminons h de manière que les trois racines du polynôme en z aient une somme nulle, ce qui donne

Les trois racines du nouveau polynôme seront

2 —J^ là -h 1

et Ton aura

\/À / \/4 [z — ej (,3- — e^) {z — e.)

ce qui est la formule (19)

Si k' est réel et inférieur à un, comme on l'a supposé, on voit que les racines e^, e^, e^ sont réelles et satisfont aux iné-

galités

La fonction z de u définie par l'équation (23) est une fonction p [u) et, puisque

il en résulte

pu + 'i^ X (26)

ou encore

sn^u V X

py = — — - X -b- '

pu = e,-+ fi ?-i ^ (27)

sn^ic \/X

Nous avons dit que k" était le module ; X s'appelle le multiplicateur des fonctions elliptiques.

Les relations entre les périodes sont

Les hypothèses sur la realité des racines restant les mêmes» on voit que Wj est réelle et «2 purement imaginaire. Lorsqu'il en sera ainsi, nous désignerons toujours par e^ la plus grande racine et par ea la plus petite.

327. Les périodes de pu peuvent s'exprimer au moyen d'intégrales définies. A cet effet figurons les trois lacets qui, partant de l'origine, entourent les points Mi, M^, Mgdont nous

FiG. 4o

supposerons les affixes e^, e,, gg imaginaires pour la commodité du dessin. Si l'on pose

les intégrales étant prises suivant les droites 0 Mj, 0 M^, 0 M3. Les périodes seront, par exemple, (n° 126) :

2co, = 2A^ — 2A3 =

Si e^, e^, 63 sont réelles et satisfont aux inégalités (24), on aura pour 2a)j une valeur réelle et pour 2m^ une valeur purement imaginaire. Mais la valeur que nous venons de trouver pour 2 Wi semble distincte de celle fournie par la formule (28) ; cette dernière en effet, si l'on effectue dans K (formule 12) les substitutions indiquées au n° précédent, s'écrit

ou, ce qui revient au même,

pM^ = gj (30 bis)

Il importe de montrer que ces deux valeurs sont égales. Nous poserons, pour cela, dans la dernière formule

elle devient

ce qu'il fallait démontrer.

4i4 CHAPITRE X

La substitution (31) transforme identiquement l'intégrale

dans la suivante

Si l'on désigne par z< et v ces deux intégrales prises d'une valeur arbitraire delà variable indépendante jusqu'à l'infini, on aura

u — u = constante = a

U = V -h oc,

et aussi

t=pv, z = pu.

La formule (31) peut donc s'écrire

\p{v + a) — ej [pv — e,) = {e, — e^{e^ — e,). On établirait d'une manière tout à fait analogue la formule

[p(y H p) ej {pv — e,) = {e, ~ e,) {e., — e,).

Déterminons cette dernière constante p. Pour cela, faisons V = lOj ; il en résulte

/'("^ 4- P) — ej = oc

Donc

P = Wj -H une période

FONGTlOxNS ELLIPTIQUES 44g

et l'on a l'identité remarquable

[Pi-o + ^'h) - ^il [pv - ej =: {e, -■- e,) (e, - e,) (32).

3S8. La méthode du n° 317 permet aussi d'établir la formule d'addition des^^t^^. On verra, dans le chapitre suivant n° 396 que, si Ton pose

l'équation

dif

admet comme

intégrait

t/YV

D'autre part

posons

l'équation (33) admet une autre intégrale

11 en résulte, d'après un raisonnement déjà fait, une relation entre G et G'

/Vx - s/ Y y

Or on tire des formules (35)

X z= pu, y = pv, •X = - ^^^ = - p'u, sJX = - p'v ;

446 CHAPIERE X

réquation (36) peut donc s'écrire

Faisons maintenant y = w^ ; nous aurons (form. 30 bis)

ibv =. e^ et par suite, puisque

L'égalité (37) devient alors

■ iJ-e,Y - ^^^'' + ^0 - / (^ Hr 03,)

ou, en remplaçant /»'2ti par i(pu — e^) (pic — e^) (pu — ej (pu — e,) (pu — e„) ,, . 1 ,.x , >

le numérateur peut donc s'écrire

e.ipu — e,) ^ (e, — e,)(e2 — e^),

et la fraction

e ) (gj — gi) (^3 — gi)

La formule (32) donne la valeur de cette expression et l'équation (38) devient

p (U + wj = ^ / (w -h coj.

FOiNCTIONS ELLIPTIQUES 447

Le signe fonctionnel / se confond donc avec le signe 4/» et l'égalité (37) peut s'écrire

p\u + v)^pu-^p.^\{t«^Zf,)'. (39)

329. Il résulte du rapprochement des n°s 49, 50 et 327 que l'on peut toujours, sous la réserve qu'il faudra résoudre une équation du troisième degré, effectuer l'inversion d'une intégrale elliptique quelconque de première espèce au moyen de la fonction pu, et même au moyen de la fonction pu pour laquelle les racines e^, e,> '?3 sont réelles. Dans ce cas le discriminant A = g^^ — '^'g-i^ de l'équation

est positif. Mais l'on rencontre souvent des fonctions pu k discriminant négatif; les propriétés de ces deux sortes de fonctions ne sont pas identiques ; il sera donc important de distinguer avec soin les deux cas.

Les séries

330. Létude des fonctions trigonométriques suggère une dernière méthode pour définir les fonctions elliptiques ; nous voulons parler du développement en séries. Nous avons vu que la série du sinus

admet la période 2-!t, et que l'on peut constituer des séries possédant une période arbitraire / en remplaçant dans la série

précédente x par ~^ . Une fonction rationnelle quelconque du

sinus et du cosinus, l'exponentielle e'"' qui est égale à cos x -\i sin x^ une série composée de termes qui sont eux-mêmes fonctions du sinus, da cosinus ou de l'exponentielle, admet-

Iront encore la période 2-, ou une période / donnée si l'on effectue la substitution indiquée.

La série qui a été adoptée est la suivante

Bu = 2^(—l)nc/"^'-^ sin(2u+n.^; (40)

elle peut aussi s'écrire

puisque l'on a

sin (2n -h i) -- = ^-j

-du

331. La série (40) sera convergente, et même absolument convergente, si le module du rapport d'un terme au précédent a une limite inférieure à l'unité ; ce rapport a pour valeur

(« + i + i)^-(» + i)" (n+l + .i)!^ii*-(n+i)^

■VLlti

Pour que la limite soit inférieure à Tunité, quel que soit u, il est nécessaire que le module de q soit inférieur à l'unité. Si l'on pose

q=.er^ , (41)

^" = r -H SI,

le module de q sera e— ™; la condition cherchée sera donc

s>0, et nous la supposerons remplie à l'avenir.

333. En môme temps que la série 6;^, nous considérerons, par analogie avec la trigonométrie, les trois séries

OjtiC = 0 (î^ -f tOj) \

^^u = — iqï eJ^wi 6 {ic H- w^) V (42)

j^ Tiiu 1

63^^ = iq" e 2ojj 0 (w -f- Wg) j

en posant, pour la symétrie de l'écriture,

tOj -|- w^ -h 0)3 = 0 (43)

Un calcul facile montre que Ton a

fi^ti = 1 + 2 2 (- 1)" ^""^ «os ~; = 2 ^~ ^^" ^"' ^" ^' ) (^^) 1 — 00

Q^u = i -^ 2 2j 7"" cos ^^ — = 2u ^" ^" "^

Il n'entre pas dans le plan de cet ouvrage d'établir toutes les propriétés de ces fonctions 6 ; nous renverrons le lecteur au Précis de la théorie des fonctions elliptiques (*) de M. Lucien Lévy. Nous nous bornerons à donner les théorèmes qui nous seront utiles et qui suffiront pour faire comprendre l'esprit et la portée de la méthode.

(') Avec tables numériques et applications, 236 pages, chez Gauthier

YiLLARS.

Calcul infinitésimal 29

333. La série ^u , étant une série de sinus (form. 40), est impaire, c'est-à-dire que l'on a

e ( w) = — Bic

Les trois autres séries (form. 44) sont paires ; elles ne changent ni de signe ni de valeur lorsque la variable change de signe sans changer de valeur.

334. Les quatre fonctions admettent la période 4w^, en vertu de leur mode de formation. Mais, et c'est déjà là un incident à noter, les deux dernières (form. 44) admettent même la période 2cOi.

335. Voyons l'effet produit par l'addition de 2(à^ à l'argument u, et considérons par exemple la série 0 (form. 40). Le terme général se trouve multiplié par

Le facteur constant devient donc

et le nouveau terme général peut s'écrire

on a donc

6 {li -H 2W2) = — ^- 1 e —^ Qu. (45)

On verrait de même que

Oj (w H- 20)3) = g-i e- (0^ ôjîf

Tziu O3 [u -+- 2W2) = q — ^ e~ w'i" G3W

sn u^'k -

en u\/i ■■

dnu\l\

336. Il résulte des formules précédentes que les quotients deux à deux de ces fonctions auront deux périodes 4wj et 4co2. Les fonctions de Jacobi (323) sont données par les formules (*)

les constantes A, B, C sont choisies de manière que, pour u infiniment petit, les seconds membres aient respectivement pour valeurs principales U\J\, 1 et 1.

Le premier quotient a évidemment pour périodes 4co^ et 20)^

le deuxième 4to^ et 40)^

•et le troisième 2wj^ et 4w^

En fait, les périodes indiquées ici pour cnu ne sont pas primitives et il conviendrait de remplacer la deuxième par 2wj -h 2co2. Mais nous n'insisterons pas sur ces détails. Il nous suffit d'avoir montré avec quelle facilité les fonctions 6 permettent, par de simples divisions, de former des fonctions doublement périodiques.

337. Ces séries 6 sont extrêmement convergentes, et par suite éminemment propres au calcul. On peut même s'arranger (**) de manière à avoir toujours pour le module de

q une valeur mférieure à q. Il en résulte qu'en pratique, dans

la plupart des cas, on pourra se borner au premier ou aux 4eux premiers termes de la série.