CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

conséquemment on a

( . ri — r xx — X ,

\ sma, == cose sirn?,

( * ry—sl(x, — xf:

Donc, si Ton remarque que par la nature de la courbe réfléchissante R, Xy y sont connues en fonction de e, on voit que ri, r^, a-i sont aussi connues en fonction de e. De plus réquatiûn

.f. sina, I I

donne |r- en fonction de e.

Coordonnées rectangles. — On a les équations suivantes :

( X — X2-=-- rtcosi^ai — X) :— r, cos(X — ae),

( 7 — J'2 - r2sin(2a, — X) — Ta sin(A— 26);

or a; et j sont données en fonction de e; il suffit donc d'éliminer cette variable entre ces deux équations pour obtenir réquation de la courbe entre les variables x^, y^. Rayon de courbure. — On trouve sans difficulté Véquation

(^) jj7 ^ ^ cosa, -f- -g^ sina,;

^a sera donc connue en fonction dee\ or e, — ae = :: — X; > est connu en fonction de e, par suite ^3 est connu en fonction de Es; on a donc l'équation élémentaire de la caustique.

Si la courbe réfléchissante est un cercle, il faut poser R' nul; par suite, Téquation (6) devient

^^^ Nf- "RUT"

Développante de la caustique. — Portons- nous au cas général et cherchons les propriétés de la caustique par rapport à un point lumineux fixe A (Jig*^6). Soient Fs et 2a le

rayon de courbure et l'arc de la développante de la caustique» on a les équations

' r, t'i Rsmai ^

d'où Ton tire la relation

r, n ir

Rsina,

laquelle donne le rayon de courbure O'r, de la développante 0' ij.

Relations entre les angles e et at. — Rapportons la courbe réfléchissante Os au point A comme pôle et à la ligne Âx' comme axe polaire > et soit ri=:F(6) l'équation polaire de cette courbe, 9 étant Tangle que le rayon vecteur r» fait avec Taxe kx'; on a les relations angulaires

(8) e -f- «1 -h ô : -71, cose =r — cos(fl, -t- 0);

si on développe le cosinus et que Ton ait égard aux expressions suivantes

dn r, dô

COSa, =:-7-j Sinfl, 1=:— 7— 9

on obtient Téquation suivante :

(9) cose = — cosô^ -hsinS— T~^

qui donne e en fonction de d, et par conséquent en fonction de ai.

Équation élémentaire de la développante. — Soit £1 l'angle q\ie la tangente à cette courbe fait avec l'axe 0^; on a les relations

(10) a, -+-«2 = 71, e — g. ma,, E, = --+-£2;

de là résulte que l'équation ( 7' ) fait connaître Ta en fonction