CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

la méthode précédente et en supposant Taxe de la parabole parallèle à la ligne lumineuse, Téquation suivante :

4 singer'

or on a la condition angulaire

on obtient donc ^s sous l'une des deux formes suivantes : . ,. ^ 3 é 3é

sm'

par lesquelles le rayon de courbure de la caustique est exprimé en fonction de l'angle e^ que la tangente à la caustique fait avec Taxe des x. De là résulte que l'équation élémentaire de la caustique est

^ sm*'

Dans le cas où la droite lumineuse a une direction quelconque, on obtient les équations suivantes :

(il) r, — h- — î-S R —

a sin'e sin'e'

conséquemment on trouve la relation

4 sm^e

et, si l'on a égard à la relation 2e : £2 — (3 -^ on obtient

l'équation naturelle de la caustique sous l'une des deux formes

l68 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES À DES SYSTÈMES, ETC.

suivantes :

6cos(3

36cos^

[i—sin(e2- (3)J-'

Il est évident que l'on passe de Tun à Taulre cas par le changement de 63 en e, — (3, et de 6 en 6 cos(3; par conséquent les deux courbes sont semblables (n"" 34).

89. Caustiques par rapport à un cercle lumineux. — Soient OM {Jig. 26) la courbe réfléchissante et A le centre du cercle

Fig. 36.

lumineux, M un point quelconque pris sur la courbe réfléchissante, X l'angle que le rayon incident fait avec l'axe des x; on a les relations suivantes, qui donnent la solution complète de la question.

Rayon réfléchi. — L'équation de ce rayon est la suivante :

r, r, Rsinoi'

on a les conditions angulaires

fl, "- X — e^ sina, == sinXcose — cosX sine;

or les valeurs de cosX, sinX soiit données par les relations

cosX

sînX

ri— r.