CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. I7I

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de Ej, ou, ce qui est la même chose, -j^ en fonction de Ej.

On a donc l'équation naturelle de la développante de la caustique.

Équation polaire de la développante. — Posons AO' égale à p, et représentons par (ù l'angle O'A^, nous avons les relations

(il) p = 2r, sina, -- 2r; ^5

or, si Ton remarque que l'on a les relations angulaires

(12) 0--û)-hai = -5 tangoj — — cot{ô 4- «1),

on aura

r, sind^d — cosôrfr,

(i3) tang&i

r, cos OdQ -f-sinôrfr,

On a donc, par l'équation (ii), p en fonction de 0, et par l'équation (i3], ck) en fonction du même angle; ces équations sont donc les équations de la développante.

On trouverait avec la même facilité les équations polaires de la caustique r^ai elle-même.

Remarque. — Si l'on retourne la courbe lumineuse autour d'une de ses tangentes, et que l'on fasse rouler la courbe ainsi obtenue sur la première, le point lumineux engendre la développante de la caustique, et tout cercle lumineux ayant ce point pour centre enveloppe deux développantes de la caustique; la question des caustiques par réflexion est donc un cas particulier des roulettes.

§ IV. — Des podâires.

90. Problème IV. — Le sommet d'un angle constant c ijig* 27 ) se meut sur une courbe directrice s pendant qu*un de ses côtés enveloppe une courbe donnée (Tx\ trouver la courbent enveloppe de Vautre côté.

On appelle podaire le lieu des pieds des perpendiculaires

abaissées d'un point sur les tangentes à une courbe. Le problème que nous venons de poser est la généralisation du pro-

Fig. 27.

dJjL

blême inverse des podaires, puisqu'il n'y a qu'à supposer l'angle c droit et la courbe 0*1 se réduisant à un point pour passer du premier cas au second.

Conditions du problème. — Elles sont données par les relations

au — Oi = c = e2 — El,

Coordonnées tangentielles, — La relation (i) donne Di égal à D,; conséquemment on a

sina, sin^i

• Ta r,

Cette équation indique que les longueurs Ni, N2 interceptées sur la normale à la directrice par les normales aux courbes conjuguées di, 0-2 sont égales; de là on déduit :

Théorème. — Les trois normales aux trois courbes en des points correspondants sont concourantes.

On en déduit la construction par points de la courbe con« juguée (Tu