CHAPITRE I. — DES COURBES GONJUGUÉES, ETC

Rayon de courbure. — L'équation ( 5) du n<* 83 donne, quand on a égard aux relations ( i ) et (2 ), la formule suivante :

.^. f ^ ^t \ > sine / I i\

Vsina, sina,/ NJ ~~ sinasSinai \N, D,/

de ^quelle on déduit l'équation

^a sina, = ^i sinas 4- ( -^g^ — 2N, j sine,

qui donne une construction géométrique facile du rayon de courbure.

Rectification. — On a la relation

rfo-j = rfr, -t- cos atds.

Si Ton remplace a» par sa valeur tirée de Téquation (1), qu'on développe et qu'on remplace sina,, cosai par leurs valeurs en fonction des éléments de la courbe ai, on aura la formule

(4) dcTi — rfr, ni= cosc(rfo', — rfr, ) — sincridet;

or, dans la question présente, n est connu en fonction de Si ; soit Ti = (p(e,) cette fonction, on aura l'intégrale

(4') sinc/9(£,)rfe, = ((T, — r, )cose — (o-j — Tj),

laquelle fait connaître l'arc 0*3 au moyen d'une quadrature. Quadrature. — On a la relation

f \ ^ * î ^ '2 sin»a, ,

(7 dUi =z - rldSi = - r: . , as,.

Si l'on remplace Ut par sa valeur tirée de l'équation (1), qu'on développe et qu'on substitue dans les résultats les valeurs de sin^t, cos ai, on aura la relation

, rjrfe, rf((7, — r, )rfe,

du2 '-^ -^ — cos^e -H Ti j — - — cos c sine

2 ae,

' ^ ^ rf[(cr.-r.) p . ,

! ki — ^ LJ sin' e.

2ae,

■ 74 LlViW U. — COCRBES lAPPORTÉES A DES STSTfeXES, ETC.

Or, si Ton remarque que la sous-normale «• de la courbe c,

dlc — r, ) , -

a pour expression -^ -•> el qu on porte sur la tangente a

cette courbe, à partir du point de contact, deux longueurs, l'une égale à la sous-normale, et l'autre à une moyenne proportionnelle entre cette sous-normale et le rayon tangentiel r„ en appelant v^ w les aires balayées par ces deux longueurs dans le mouvement de la tangente d'une position à une autre, l'équation précédente donnera par son intégration la relation suivante :

(6') II, rzz Ui cos'c -h i'sin^c -r cvsin'c.

Discussion des formules. Jpplications» — Examinons en particulier le cas où la courbe o-t est un point. La formule (5') devient

(5'') ^isina, — (-^ — 2N,jsinc;

la formule (4' ) donne

(4") 0-, — r, -{- r, cosc = — sine 1 9(£,);rfe,;

et la formule (6)

(6*) Ui =2 Ml cos*c r\ sine cosc ■+- w sin'c;

W est ici l'aire engendrée par les déplacements successifs de la sous-normale à la courbe o-i.

Équation de la courbe o-, en coordonnées polaires. — Dans la même hypothèse, on peut facilement exprimer l'équation de la courbe en coordonnées polaires.

Soit ei [fig* 28) l'angle du rayon r. avec une droite fixe, et Q l'angle de o-|M avec le même axe, o-iM étant le rayon vecteur p de la courbe o-,. Il s'agit de calculer p et d en fonction d'une seule variable; on a, puisque le quadrilatère ANMai est inscriptible,

Ox r= Cl MA, a, = M| dy A.