CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. I

La formule (5') donne la relation suivante

a> ^, r . sine n

sin(a,— c)\ 1 . ^1

I cos*-(aj-~c) I

qui est Téquation naturelle de la courbe conjuguée 0-3. 3® Si, la directrice étant une droite (^g*.3o), la courbe ai est

Fig. 3o.

un point, pi étant la distance du point à la droite, on a l'équation

sma,

la formule (5') du n*» 90 donne

vVa

2 p sine sin*{a2 — c)

qui est l'équation naturelle d'une parabole. Ainsi la parabole est Venveloppe d'un côté d'un angle constant dont le sommet parcourt une ligne droite, et dont Vautre côté passe par un point fixe.

§ V. — Des COURBES conjuguées d'après la loi 2Acos£i=const.

91. Problèhe V. — Un point matériel est soumis à l'action de n forces constantes Aj, Aa, . . ., A» agissant suivant les di" rections des éléments de n courbes o-|, du o"s> . • • > o"»» décrit une trajectoire s d'un mouvement uniformément accéléré; trouver les lois qui régissent ces courbes.

Conditions du problème. -— Puisque le mouvement sur la

17^ LIVRE II. — COURBES RAPPORTftSS À DES SYSTÈMES, ETC.

courbe s est uniformément accéléré, il faut que la deuxième dérivée de s par rapport au temps soit une constante c. Or cette dérivée est égaie à la projection de la résultante des forces sur la tangente à la courbe s; on aura donc la condition

(i) 2Xcosa = c.

Loi des tangentes. — Les tangentes sont données par les équations suivantes :

, . VA- VA sin'a » V » •

(3) 5= f Rdè= f *D,rfa.=: / 'Darfa,==...= / 'Onrfa».

Loi des rayons de courbure. — On déduit sans difOculté de réquation (5) du n* 81 la formule suivante, qui se construit géométriquement.

Loi des arcs. — On a n relations telles que

d((7 — r)=iCOsads.

Si Ton multiplie chacune d'elles respectivement par A„ A„. . ., A„, et qu'on ajoute, en ayant égard à la relation (i), on trouve l'équation

(6) 2A.d((T — r) = cds.

Si on l'intègre entre limites, on trouve l'équation sous termes finis

on déduit de cette équation le théorème suivant : .

Théorème I. — Les mêmes conditions étant données que dans le problème F, si toutes les courbes conjuguées et la