QUAPITR£ I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. I

courbe directrice s, moins une de ces courbes, sont rectijiables, cette dernière sera aussi rectijiable.

Ainsi, par exemple, si toutes les courbes conjuguées sont rectifîabies, la courbe s sera rectifiable.

En effet, soit (3 = <p(a) Téquation d'une courbe (t en coordonnées rectangles, ei j=:/(ar) Téquation de la trajectoire s dans le même système; puisque le point mobile se trouve sur la tangente à la courbe cr, il en résulte que les a, |3 sont des fonctions de x; \es <t et les r sont donc aussi des fonctions de x; donc, après substitution de ces valeurs dans Téquation (6'), on aura s en fonction de x. c. q. f. d.

Corollaire I. — Si les n courbes conjuguées se réduisent à des points, la directrice s est rectijiable; ces points peuvent passer à Vinjini.

Corollaire II. — Si les courbes conjuguées se réduisent à des points, et que les forces A|, A2, . . . , A„ soient chacune une fonction de la distance du point de la trajectoire à ces points correspondants, la trajectoire s est rectijiable.

Théorème II. — Les mêmes choses étant données que dans le problème F, si la trajectoire s est décrite d*un mouvement uniforme, il suffit que n — f des courbes conjuguées soient rectijiables pour que la n*'"' le soit.

Corollaire I. — Si {n — 1) courbes conjuguées se réduisent à des points, la dernière courbe conjuguée sera rectijiable, lors même que toutes les forces seraient chacune une fonction de la distance du point de la trajectoire au point correspondant, pourvu que la force relative à la /i'*'"* courbe conjuguée soit constante.

Cette conclusion n'est pas altérée dans le cas où les points passent à l'infini.

§ Vr. — Des caustiques par réfraction.

92. Problème VI. — Une courbe lumineuse projette la lumière tangentieilement à ses éléments; si chacun des rayons

l8o LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

lumineux incidents est réfracté par une courbe j, de telle sorte que le sinus de l* angle qu'il fait avec la normale à cette courbe soit dans un rapport constant avec le sinus de l'angle que ce rayon, après réfraction, fait avec la même normale ^ l'enveloppe des rayons réfractés est appelée caustique par réfraction, et Von demande les propriétés de cette courbe.

Conditions du problème. — La loi de réfraction donne, Il étant l'indice de réfraction, la relation suivante

(i) cosa, -h jtA cosfl2 = o.

Ainsi le problème est un cas particulier du précédent. Loi des tangentes. — Elle est donnée par Téquation

, , sin'ai sin^ai sina, + asina3 sina, sina^

Loi des rayons de courbure. — Si Ton élimine les D de l'équation (5] du n® 91 au moyen des relations contenues dans la troisième des équations (i) du n*»81, on obtiendra, en ayant égard à la relation (i), l'équation suivante :

/ I ' \ / I I ï\ sin(a, — û,)-,,

Or, si l'on élimine N, du second membre de cette équation au moyen de la formule (2) du présent numéro, on trouve la forme[suivante :

«R, Sii I slna, \

Nî "^ ^ N] "^ V^sina, "^ V

sma. 2sma, sma,

^. , , , asm^i asinaj usina^

5')< X|\L L__^.L^yeosa.

rt, 1 = 0,