CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. l8l

qui a Tavantage d'exprimer le rayon de courbure de la caustique au moyen des données de la question seulement, lesquelles sont ici les éléments de la courbe lumineuse et de la courbe réfringente. Elle conduit aussi directement à Téqua^ lion naturelle de la caustique et à sa rectification. Rectification. — L'équation (6) du numéro précédent est

d{ 0", — Ti ) 4- [xd( (Ti — r-i) =: o ;

elle donne

(6') ff, — r, -h ]ut(o'2 — r,) = const.

93. Problème VIL — Caustique par réfraction d'une droite lumineuse projetant la lumière perpendiculairement à ses éléments.

Ce cas revient à supposer que la courbe o-, se réduit à un point placé à Tinfîni. En ayant égard à ces hypothèses, il faut poser les deux conditions <^, nul et Ni in(ini; d'après cela on a

II II/ sin/ï, \

et l'équation (5) des rayons de courbure du numéro précédent donne la formule

w, ^ / sma, \^ ,. / sina, \ ... .

5) a^j iH : } =— RI — : h 2 cosa, -f-uR'sina,.

^ \ jULSintfi/ \p. smûfi /

Équation élémentaire. — Supposons que la courbe réfrin-

ds gente s soit donnée par son équation naturelle --r- = ^(e). Oq

a les relations

ITT . « . COSâfi Ui— ( e -t- S ), cosaa =: I

\iuai = i/

cosVr,

d*après cela, l'équation (5) deviendra L v'/^'— sin»(e+P)J

(5'). -; r cos(«-^p) 1

H-<p'(^)VfA'— sin'(e-4-(â),

dans laquelle le rayon de courbure «Rj ne dépend que de la variable e^ qui fîxe la position du point considéré sur la courbe directrice.

Maintenant, si Ton remarque que Ton a

ej = Û2 -h e,

la relation cosûi -h fx cos^i = o deviendra

(6) sin(e 4- P) -+- fjt cos(£j — e) = o;

de cette équation on tire e en fonction de e^

//'/x / sinS -hacoseaX

6') ^=:arc(tang = % — ^-^ — •

^ ^ \ ® cosp + jULSing,/

De plus, si pour abréger on pose

D = v^i-h jut*-+- 2|utsin(e,-f- (3), on aura

. / «. 1^ / «x / . /ax M sin(e2 -+- û) -f- 1 sin(e -4- p) ==— g cos(e, -4- P), cos(« H- (3) = ^- ^ ^ ^' >

: — a sin (ea -f- S) 4- a'

V^jtA» — sin»(e -4- P) =± î- ^ ^ ^^ ^;

en ayant égard à ces valeurs, 1 -équation (5') donnera Téqua-