CHAPITRE I. — DES G0UEBE8 GONlUGVfiES, ETC

On vérifie cette équation dans le cas de la réflexion de la lumière; il faut faire [i ==— i, et Ton tombe sur une épicycloïde qui est la caustique par réflexion du point lumineux situé sur la circonférence du cercle réfléchissant.

Équation naturelle de la caustique, — Il faut remplacer

dans réquation précédente ^2 par ^9 et éliminer a» entre celte équation et Téquation

(1') sin(- ^ J -4- jut cosa3 = o.

Le résultat de Télimination donne l'équation naturelle de la caustique.

Rectification, — L'équation (6) du n® 92 donne, (o-»)» (n) étant les valeurs initiales de 0-3 et de r,, la relation suivante :

(3) |[z((72 — r^) — n = fx[((70 — (''a)] — (/••);

or Ti et Pi sont connus en fonction de a^ donc l'arc 0*2 est aussi

connu en fonction de cette variable.

Quadrature. — Chercîions Taire balayée dut par le rayon r,;

on a

dui = -^ dz2,

eiconséquemment

^ ^' V \/' — u^cos-'aj

, r\ da-i I a|ut sin flj -î- \/ 1 — {^' cos^a,

v/i— /jL*cos*aj

d'où Ton déduit l'équation

, , K^ix*sïn*a2dai fJL*du =r — ^ — = >

(2juisina2-+- VI — [x^ cos'ajjV" -— fx'cos*a» dans laquelle les variables sont séparées*.

l88 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

96. Des développantes des caustiques par' réfraction. Question. — Étant donnée une courbe lumineuse 2, [fig^ 3^ )

Fig. 3a.

projetant la lumière suivant ses normales , trouver une développante ^2 de la courbe (jj, enveloppe des rayons réfractés.

Solution géométrique. — Il s'agit de construire la courbe 2a sans connaître la courbe Ci. Les rayons lumineux projetés par la courbe 2i, tels que ACi, ont pour enveloppe la courbe ex, développée de la courbe 2i. Cela posé, si dans les équations (i)

et (6') du n** 92 on pose |ut =r -, elles deviennent

cosa2 + vcosa, = o, rf(72 = dr2 -4- V ( rfr, — dd^ ).

Soit A a, un rayon incident; si Ton élève une perpendiculaire à ce rayon au point «i jusqu'à sa rencontre en D avec la tangente à la courbe s au point D, et que du point A comnne centre avec un rayon égal à v. A ai on décrive un arc de cercle, il coupera le cercle construit sur AD en deux points «a, «a; on aura donc la relation

A a, cos«2 Al) =^ v( /', — 0",) cosé/, ;