GHAPITRR I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

or on a

Aa, =(r,— ■ (t);

on aura donc la condilion

(4) cosajAD = vcosriî.

Conséquemment Tangle «jAD est égal à «r, — tt, donc A a, est le prolongennenl du rayon réfracté.

D'une autre part, Téquation (2) donne

d(Ti = dr-i, -f- rf( A «2 ) ;

donc le point a^ est un point d'une développante de la caustique 0-2 .

Cette construction montre que, si Tindice de réfraction prend toutes les valeurs possibles, on aura une infinité de caustiques, et les points tels que a^ des diverses développantes correspondant au rayon incident A ai seront distribués sur la circonférence d'un cercle qui a AD pour diamètre; de là on tire le théorème suivant :

Théorème. — Les développantes des diverses caustiques par réfraction d*une courbe lumineuse 2| par rapport à une même courbe réfringente s obtenues' d'après différents indices de réfraction sont telles, que le lieu des points tels que o^ de ces développantes correspondant à un même point a, de la courbe lumineuse est une circonférence de cercle.

Le point as symétrique de as par rapport à la tangente au point A à la courbe réfringente est un point d'une courbe 2, qui, projetant la lumière suivant ses normales, aurait pour caustique par réflexion, par rapport à la courbe réfléchissante 5, la caustique par réfraction Ci de la courbe 2i par rapport à la même courbe s considérée comme courbe réfringente. On conclut de là le théorème suivant :

Tbêorèhe II. — Si de l'un des points A de la courbe s comme centre on décrit un cercle avec un rayon égal à v(ri — o*,), l'enveloppe de [ce cercle de rayon variable se composera de deux branches Sj, Ss; la première sera la développante de la

igo LIVEE II. ^ GOVIBES lAPPORTfiES A DES STSTftWSS, ETC.

caustique par réfraction de la courbe ln^ et la seconde une caustique secondaire par réflexion de la caustique par réfraction.

Corollaire. — Lorsqu'on connaîtra l'une des deux branches^ on obtiendra l'autre branche en cherchant V enveloppe des cercles tangents à la première, et dont les centres se trouvent sur la courbe s.

On déduit aussi de ce qui précède le théorème suivant :

Théorème III. — Si Von prend les symétriques par rapport à la tangente AD au point A de la courbe s et des deux branches 2,, Sa, et qu'on fasse rouler sur la courbe s sa courbe symétrique, de telle sorte qu'elle entraîne le plan qui la contient et les courbes symétriques tracées dans ce plan, la symétrique de la première branche enveloppera la seconde branche, et la symétrique de la seconde enveloppera la première.

97. Solution analytique. — Cette solution a ce caractère qu'elle fait connaître la développante Za de la caustique par réfraction sans intégration, bien que la recherche des développantes des courbes soit une question de calcul intégral.

Coordonnées tangentielles. — Si Ton fait usage des coordonnées tangentielles par rapport à la courbe s considérée comme directrice, il s'agit de déterminer le rayon Aa*, et l'angle DAa„ que nous représentons le premier par p et le second par P; on a donc les équations

(i) p=zv{ri — (T, ), cosp = vcos/ii,

qui ne dépendent que d'une seule variable. On trouverait de la même manière les coordonnées tangentielles de la branche 2s.

Rayon de courbure. — Soient F,, T, les rayons de courbure des courbes 2,, 2,; d'après ce que nous venons de dire, on a l'équation

(2) Fî H- vF, = Tj -t- vr,.

Si Ton élimine r^ au moyen de l'équation (2) du n<» 92, on