CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. I9I

aura l'équalion

(3) r.-+-/zr,-r.=::

I / sinût \ 1

Rsinas \fx sinas / /xti

dans laquelle Fs ne dépend que d'une seule variable qui fixe la position du point.

Rectification. — Elle résulte des formules précédentes; en effet, si Ton exprime Fj en fonciion de gj au moyen des deux relations

(4) e, = a, -he, e,==a2-4-e,

et des deux relations (i) du présent numéro et (2) du n" 80, on aura la longueur de Tare Isau moyen de Téquation

(5) rfSa = Fjrfe».

Quadrature. — Si Ton appelle rft) Taire infiniment petite décrite par le rayon de courbure F2, on aura Téquation

(6) d'0 = ^Y\du.

Coordonnées par rapport à la courbe 2,. — Si Ton prend pour courbe directrice la courbe lumineuse 2i, ce qui, dans plusieurs cas, offre un avantage réel, les coordonnées taugentielles de la développante Is par rapport à cette directrice sont la longueur oLxa% et Tangle que cette droite fait avec la tangente en ai à la courbe 2,. Soient pi et d ces coordonnées, on a, en projetant le périmètre du triangle axOL^k sur la ligne aiai,

la relation

a, a, = a, A sina^ H- a» A sinai,

d'où l'on déduit

{7) p. = ('•1 — o-,)(vsina, 4- v^i — v^cos^«,),

que l'on peut écrire sous la formule suivante :

d'autre part, on a a3aiD = a2 — tt, d'où l'on tire la condition

rf(r, — a,)

(2) cos6 = vcosa, = V

ds

donc les deux variables pi et 6 sont des fonctions d'une seule variable.

Dans le cas où la courbe 2i se réduit à un point, et en appelant di l'angle que a, as fait avec la direction fixe oix et e, l'angle que A a, fait avec ax^ on a la relation

0, z= H h fil = «2 -♦- e, •

Les deux équations (7') et (8) sont donc remplacées par les deux suivantes :

r?rf£, ./ dr\

^'^'-dr^'^V'-'W

COS0, — — V -5- sme, -+- cose

as

qui font connaître les deux coordonnées polaires p» et 0» en fonction d'une seule variable e,.

Application. — La courbe réfringente s est un cercle de rayon R, et la courbe lumineuse 2i un point pris sur la circonférence de ce cercle. On a les équations

r, = 2R cosa,, û, = £,,

p, m r, (y/i — v^cos^fli -4- v\^i — cos'a,),

sin0, =— V cos'a, -4- V'i -f- cos'a, sji — v*cos*a,,

desquelles on déduit l'équation de la courbe 2i en coordonnées polaires

pî z= R2(n- v^ — 2v sin0,).

§ VIL — Des courbes conjuguées d'après diverses lois.

98. Problème IX. — n courbes sont conjuguées suivant leurs tangentes concourant en un point d'une directrice par