CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. I
la relation
dans lesquelles A,, A,, . . . , A„ sont des constantes ; trouver les lois qui régissent ces courbes.
Loi des tangentes, — L'équation (i) fait connaître ellemênïe la loi d'après laquelle sont liées les projections des rayons tangentiels sur la normale à la courbe. D'une autre part» on a l'équation :
de laquelle on déduit la relation suivante, dans laquelle k est la constante introduite par l'intégration :
(3) elk + lkaz=ik.
Si la directrice est donnée ainsi que le faisceau de {n — i) courbes conjuguées, les deux équations feront connaître les deux coordonnées a„ et r„ de la /i'*'"' courbe en un point quelconque de la directrice.
Loi des rayons de courbure. — Si nous prenons la dérivée de l'équation (i), nous aurons la relation
,,, V^Acos« V^Asina/i i\dr
or on a (n« 63)
dr ^ , ,
■-j-=êi — rcota. (n)
dr Donc, si l'on remplace les -r- dans l'équation (4), elle de-
viendra
OU bien
que Ton peut écrire sous la forme suivante :
Cette équation fait connaître d'une manière facile le rayon de courbure de la /i"'~' courbe conjuguée.
Remarque L — Si le second membre de Téqnation donnée (i) était une constante e, on aurait à la place de Téquation (3) la suivante :
(3') eJ.A.'h l\a = cs -i- k.
Or on a
^ = U, 8= rRde;
en portant dans Téqualion précédente, on aurait
(3") elk'{-lAa=^c f Rrfe-h/r;
on a donc une relation entre eeia^ai,,.,, an, La loi des rayons de courbure est la même que ci-dessus. Remarque IL — Si Téquation (i) est
Ssina n , . \} i n
ce qui revient à dire que C moyenne harmonique des normales est constante, la normale de la /i'*'"* courbe N« se construit en vertu de cette propriété.
On a de plus
ne -f-2a=: k.
Celte relation fait connaître la direction de r„; et si deTextré-
CHâPITRB I. — DES COURBEE GONJUGUÊES, ETC. igS
mité de Nn on abaisse une perpendiculaire sur la direction -de r„ on aura Textrémilé du cay^fi tangentiel r„.
La formule des rayons de courbure (4'^) donne la loi qui régit ces rayons, pourvu que les coefficients tels que A soient remplacés par l'unité.
99. Problème X. — n courbes sont conjuguées suivant leurs tangentes concourant en un point d'une directrice par la , relation
(i) 2 Acp(o- — r) = c,
dans laquelle cp est une fonction quelconque et e une constante; trouver les lois qui régissent ces courbes^
Loi des tangentes, — Si I*on différentie la relation précédente, on aura
(a) 2A(p'((T — r) cosa == o;
qui fait connaître la loi d'après laquelle les angles ^i, at, as,..., .«„ sont conjugués. •
D'une autre part, si Ton différencie cette dernière équation, on aura
(3) 2k(f*'{(j— r)cos^rt — 2Acp'((7 — r)— |r-=o;
^ette équation donnera — et, par suite, — ^ on connaît donc
la loi d'après laquelle les rayons tangentiels sont conjugués.
Loi des rayons de courbure. — Par une troisième différentiation, on trouve
« * «,, ^'o» /// .cosasina 2A(p'^((T — r)cos»« — 32A(p"((x — r)
Nous avons trouvé <n° 81)
cosfl sin'rt dr IV D'
Dr" "^~h" ^~" K"^"^D^'
or le dernier lerme de Téqualion (5), en vertu de la relation précédente, devient
2A<p'((T— r) -rr^ sinfl
(6) j =2A(p'(<r~r)-^^-2A9'(cr-r) — —
— 2A(p'((7— rj^sinfl,
relation que Ton peut écrire sous la forme suivante :
2Acp'(o' — r) :=- sina
I =:\ --(p'(<7 — r)(,5R.'— Ncosfl — -rr-cosa — -jT-^N^sin^ j-
Si dans Téquation (5) on remplace le dernier terme par sa
valeur tirée de cette dernière, on obtient la formule
V 4 //// \ , 5\-A fff .costfsin^Tî 2A<p'"(o' ~ r)cos'a — 32A9"(o- — r) r-
(^'^ 1 -^S^3?'(^-^)[^-(n+|V^;)cos«
R'N» . 1 — -*5T-sinaJ = o.
Cette formule est tout à fait générale, et renferme toutes les précédentes analogues trouvées dans les différents problèmes que nous avons résolus.
100. Problème XI. — Les longueurs ^, /j,..., tn des tangentes menées d*un point d*une courbe s à n courbes données (7i, o-j, (73, ... , (7n sont conjuguées d* après la loi
trouver la loi d'après laquelle les inclinaisons de ces tangentes sur la courbe s sont conjuguées ainsi que la loi qui lie les rayions de courbure.
