CHAPITRE 1. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. I
Variations première et seconde d'une tangente t par rapport à ds. — Soienl(/g-. Sa bis) MM', M' M'' deux éléments c on
sécuiifs de la courbe s\ NN', N'N'' deux élémenis correspondants de la courbe ex; JM, J'M' jles positions consécutives de* la tangente t ; NO le rayon de courbure Si de la courbe c, et r la ligne qui joint le point M avec l'extrémilé de A, on a les deux relations
(2) dt=zdscostds — d(7, tde = dssïntds; {n)
la première donne, en ayant égard à la seconde et à l'équation naturelle de la courbe c
dt tcostds — Sis'intds
ds
- cos ra5.
Cette dernière relation provient de ce que, dans le triangle dont les côtés sont t, r, ^, la projection du côté r sur ds est égale à la somme des projections des deux autres côtés sur cet élément.
Convenons que, lorsqu'une droite t prend une position infiniment voisine, nous la représentons par la même lettre ac-
centuée /'; il est évident que la variation d'un angle tr est
igS LITRB II. — COURBES RAPPORTAS A DBS STSTlORS, ETC.
égale à la somme des déviations des côtés; d'après cela, on aura les équations, en ayant égard aux signes,
(4) d(r,ds)={ds,ds')^[r,r^), d(t,r)=[t, t')^{r, r'). {n)
Or, si Ton projette le périmètre de la figure MIM'0'0 d'abord sur r et ensuite sur une perpendiculaire à r, on obtient les deux équations
dr^zdscosrësf-^ dUsxtïrty I
rsinrr' = disin{r, rfsj— rf^cos(r, /). )
Or la seconde de ces équations peut s'écrire sous la forme
(r, r') '^^ . ,, , , ,, V sin{/, rf5) , .
— ^-^ = 7;:Sln(^ rf5)cos(/, r) -^ i- {n}
D'après cela, la première des équations (4) donne la formule
.^. d{r,ds) i sin(r,rf*) . ^' . ,, . v ,* % / v
(6) ' j^ = ^ '-^ ■' -f- — sm(/, ds) cos( /, r). (n)
Ces formules étant établies, si l'on prend la variation par rapport à ds de la seconde des équations (3), et qu'on y remplace les variations de l'angle (r, ds) de dr et de dt par leurs valeurs tirées des équsftions (6), (5) et (3), et que de plus on remarque que l'on a les deux relations
d^ ^'sin(^rf5) ,, ,v , .. f. . . .
(7) ■^ = ^ -^ {i,ds}=(r,ds) — {t,r)y (n)
on tombera sur la relation simple
/ d fdt\ j^ sin (r, ds) £ rcos^(r, t)— cos' (r, dsY\
)rfïV5iJ^~ Rcos(r,0 "^/L cos^(r, J , . j
^^ sin^(/,rf^)
r^ cos'(/, r)
Zoi (/e5 inclinaisons des' tangentes. — Différentions l'équa^
