GHAPITRS II. — DES ROULETTES. 20I

dsx rélément d'arc, et Ri le rayon de courbure, on aura les relations suivantes :

r^dB . rfr, i sina, rf«,

dsx dsi R, r, a5,

D'une autre part, la développée B de la roulette étant rapportée à ses coordonnées tangentielles r, a, par rapport à la ligne C comme directrice, si Ton appelle ûfo-, l'élément d'arc de cette développée, de Tangle de contingence, ds l'élément d'arc, R le rayon de courbure de la courbe C, on aura (4o) les équations

, ^ rdz . rf(r-ho"iJ i sina da

(a) -^=s.oa, — j^^cosa, = -- + ^,

auxquelles il faut joindre les relations qui ont lieu au point de contact

(3) ds = dsiy a -h ai.=:z r:.

Tangente à la roulette. — Si on ajoute les équations qui donnent cosa, cosa,, on trouve la condition

(4) rf(r-f- r, -I- (7i) = o.

Donc, si l'on appelle ^, le rayon de courbure de la roulette, on aura la relation

Cette équation montre que, si du point de contact A des deux courbes C, C, on mène la droite AO', elle sera normale à la roulette, et, par conséquent, un point 0' quelconque du plan mobile décrit un arc de cercle infiniment petit autour du point A comme centre. Ce point A, autour duquel s'effectue la rotation de la figure pendant un temps infiniment petit, porte le nom de centre instantané de rotation.

On déduit le théorème suivant, qui a une grande importance :

Théorème L — Le point de contact A des deux courbes C,

aoa LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTËUES, ETC.

Cl est le centre instantané de rotation de la figure mobile, et, cette rotation est en ce point égale à la somme ou à la différence des angles de contingence des deux courbes suivant qu'elles ont leurs convexités contraires ou de même sens.

Rajron de courbure, — En ajoutant les équations qui donnent sina, sina, dans les groupes (i) et (2), on obtiendra la relation

(6) (i + l)sin«=l+i..

Cette équation fait connaître r,, et par conséquent le rayon de courbure ^1 est connu par suite de l'équation (5).

Coordonnées rectangles. — Résolvons maintenant le problème dans le système des coordonnées cartésiennes.

Soient les deux courbes C et Ci rapportées Tune et l'autre à des axes rectangulaires, les premiers fixes et les seconds mobiles avec la courbe Ci, invariablement liés avec elle, et ayant leur origine au point 0'. Soient Xy j, les coordonnées du point de contact de la première par rapport aux axes fixes, et Xyy ji les coordonnées du même point en tant qu'appartenant à la seconde courbe par rapport aux axes mobiles. Si Ton appelle a, (3 les coordonnées du point décrivant par rapport aux axes fixes, et ri la distance du point de contact au point 0', on aura, pour chacun des deux axes fixes, une équation semblable à la suivante, qui se rapporte à Taxe des x :

(5) a = ^+ rx\QOs(rxy ds) cos{dsj x) + cos(Ri, r,)cos(Ri, a;)].

Si Ton appelle 0, l'angle que r, fait avec l'axe 0' j;', l'équation précédente devient . ,, [drxdx ridQi dr\

dri Tj dOi or, par rapport aux axes mobiles, r,, --r- > -—j — sont des fonctions de la variable qui fixe la position du point, variable que l'on peut supposer être 5, ; de même, par rapport aux axes fixes,

dx dv ^, -7-> -y- sont des fonctions d'une seule variable que Ton