CHAPITRE II. — DES ROULETTES. * 2o

. peut supposer être s; maïs, comme on a cette condition que ds et dst sont égaux, il en résulte que les deux arcs s et 5, ne diffèrent que par une constante. Donc les deux seconds membres des deux équations contenues dans le type (7') sont fonctions d'une seule variable. Ce sont donc les équations de la roulette par rapport aux axes fixes. Nous ferons quelquefois usage de cette méthode.

102. Théorèmes relatifs aux courbures. — • On déduit de réqualion (6) le théorème suivant :

Thëorème II. — Le conjugué harmonique D du point de contact A par rapport au centre de courbure de la courbe C, et au symétrique du centre de courbure de la courbe Ci relativement au point k^ le conjugué harmonique du point A par rapport au centre de courbure de la roulette et au symétrique du point décrivant relativement au même point A, sont situés sur une circonférence de cercle tangente aux courbes C, Ci au point A.

Corollaire, — Si Ton représente par dtù la rotation élémentaire de la figure, on a

in \ 3^ — H- — .

^^^ ds R"~"R,

Construction du rayon de courbure de la roulette. — Dé^ terminez le point conjugué harmonique D, projetez ce point sur la direction de r en d, déterminez le quatrième harmonique des points d, A et du symétrique du point décrivant relativement au point A, ce quatrième harmonique est le centre de courbure de la roulette.

Le cercle tangent au point de contact A des deux courbes C, Cl, et passant par les deux points D et d, est indépendant de la position du point décrivant 0; on déduit :

Théorème III. — Si l'on considère les différentes roulettes engendrées par les différents points du plan mobilcy et qu*on prenne le conjugué harmonique du point de contact A des deux courbes C et Ci par rapport au symétrique d'un quelconque des points décrivants relativement au point A, et le

centre de courbure de la roulette correspondante , ce conjugué harmonique se trouve situé sur la circonférence d'un même cercle, ayant AD pour diamètre , quel que soit le point décrivant.

Théorème IV. — Si l'on considère les différentes roulettes engendrées par les points du plan mobile, situés sur une circonférence de cercle quelconque, tangente aux deux courbes C, Ci en leur point de contact, les centres de courbure correspondants des roulettes se trouveront situés sur la circonférence d'un autre cercle tangent aux courbes C, C, en leur point de contact.

Théorème V. — Si l'on considère les différentes roulettes engendrées par les points du plan mobile situés à V infini, les centres de courbure de ces roulettes se trouvent distribués sur un cercle tangent aux courbes G, Ci en leur point de contact A, et ayant pour diamètre la moitié de AD, cercle i- — | •

Réciproquement, si Von considère les différentes roulettes engendrées par différents points du plan mobile, situés sur la

circonférence du cercle symétrique du cercle ( — ) par rapport à la tangente au point A des courbes C, C,, les centres de courbure correspondant à ces différentes roulettes seront situés à V infini; ce qui revient à dire que les roulettes ont aux points correspondants une inflexion.

Théorème VI. — Si l'on considère les différentes roulettes engendrées par des points du plan mobile situés en ligne droite MN, les centres de courbure correspondants de ces roulettes seront situés sur la circonférence d'une conique déterminée par ces cinq conditions quelle est tangente aux deux courbes C, C, en leur point de contact, et quelle passe par les

intersections du cercle ( — j avec la parallèle à la ligne MN

menée par le point de contact, et par les intersections du cercle (AD) avec la symétrique de la droite MN par rapport au point A; ces deux cercles étant tangents aux courbes C, Ci en leur point de contact.