CHAPITRE II. — DES ROULETTES. 2o
Remarque. — Le cercle dont le diamètre est AD serait constant de grandeur, si les deux courbes C, Ci étaient telles
que la somme de leurs courbures ( -r -h tt ) restât constante;
cette circonstance se présente lorsque les deux courbes C, Ci sont deux cercles; mais, quelle que soit Tune des deux courbes C, Ci, on peut toujours déterminer l'autre de telle sorte que la somme de leur courbure reste invariable. Si cette condition est remplie, et que Ton considère deux points du plan mobile tels que le premier, dans une position de ce plan, occupe, par rapport à la tangente et à la normale au point de contact des deux courbes C et Ci, la même situation qu'occupe le second point, dans une seconde position du plan mobile, par rapport à la tangente et à la normale au nouveau point de contact des courbes C et C, le rayon de courbure de la roulette engendrée par le premier point sera, dans la première position de la figure, égal en grandeur et situation au rayon de courbure de la roulette engendrée par le second point, relatif a la seconde position de la figure.
103. Problème II. — Le mouvement d'un plan est déterminé par la condition qu'une courbe C [fig> 33 bis) y située
Fig. 33 bis.
dans ce plan, roule sans glissement sur une courbe plane C; trouver l'enveloppe v d'une courbe v' située dans le plan mobile.
2o6 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES À DES SYSTÈMES, ETC.
Équations différentielles. — D'après les principes établis au n** 50, si du point de contact A de deux courbes C, C on abaisse une normale sur la courbe v', le pied E de cette normale appartient à la courbe v, enveloppe de la courbe v'. Soient Siy Sif les rayons de courbure de v et 1/ en leur point de contact; si Ton rapporte la courbe développée B de la courbe v à ses coordonnées tangentielles r, a par rapport à la courbe C comme directrice, et la courbe B' développée de v' à ses coordonnées tangentielles r\ a! par rapport à la courbe C comme ■directrice, rfo-, rfe, Jœ', dz' étant les arcs et les angles de contingence de ces deux développées, les notations du n"" 101 relatives aux courbes C, C étant conservées, on aura les équations
rdz . dir-\-(T] i sin/i da
— î— = sina, —^ — = cos«, —
, ds ds i\ r d$
' r'dz' . , rf(r'4-(7') , I sinû' da'
ixuxqueiles il faut joindre les conditions (2) ds:=ds\ a-ha'=:r..
Tangente à V enveloppe v. — Si l'on ajoute les équations qui donnent cosa, cosa', on trouve que rf(r 4- r'-f- o- -h a') est nulle, et, par suite
Cette équation montre que, si du point de contact A des deux courbes C, C on abaisse une normale n sur la courbe v', le pied de cette normale appartient à la courbe v enveloppa de v\ <;e qui est conforme au principe établi n° 50. On a donc un point de Tenveloppe v et la normale en ce point.
Rayon de courbure de l'enveloppe. — En ajoutant les équations qui donnent sinû, sin«', après les avoir divisées, la pre- «lière par r, la seconde par r', on trouve
<3) (l-,i.)sina=(i + i;
CHàPITRS II. ~ DK ROULETTES. 207
I Cette équation et la précédente font connaître le rayon de
courbure de l'enveloppe de v'.
Théorème I. — Si l'on prend deux conjugués harmoniques D^ d du point de contact A, le premier par rapport au centre de courbure de la courbe C et au symétrique du centre de cour-bure de la courbe C, et le second par rapport au centre de courbure de la courbe v et au symétrique du centre de courbure de la courbe y/, ces deux points D, d sont situés sur une circonférence tangente aux deux courbes C, C en leur point de contact.
On déduit la construction du centre de courbure de Tenveloppe V de la courbe v', comme on Ta donnée au numéro précédent.
Ce cercle tangent au point A est indépendant de la position de la courbe v et de la nature de cette courbe. On déduit :
Théorème II. — Si l'on considère les différentes enveloppes correspondant à différentes courbes v', v', ,. . . situées dans le plan mobile y les conjugués harmoniques du point A de contact des deux courbes C, C par rapport aux symétriques, relativement au point A des centres de courbure des courbes v', v', , . . . et aux centres de courbure des courbes enveloppes correspondantes, se trouvent distribués sur la circonférence d'un cercle d'un diamètre constant pour chaque point A, et tangent en ce point aux deux courbes C, C.
Théorème III. — Si l'on considère les différentes courbes v', v'j , v'j , . . . , situées dans le plan mobile, telles que leurs cen^ très de courbure correspondant au point ^k de contact des courbes C, G soient situés sur un cercle tangent au point A aux courbes C, C les centres de courbure des enveloppes correspondantes seront situés aussi sur la circonférence d'un cercle tangent aux courbes C et C en leur point de contact A.
Théorème IV. — Si r on considère les différentes courbes v\ v',, Vj,, . . , v^, situées dans le plan mobile, telles que les centres de courbure correspondant au point A soient situés sur le
symétrique du cercle f — j » les centres de courbure des enveloppes correspondantes seront situés à V infini.
Théorème V. — Deux courbes parallèles situées dans le plan mobile envelopperont deux courbes parallèles situées dans le plan fixe.
De là on déduit :
I" Deux droites parallèles situées dans le plan mobile enveloppent deux développantes d'une même courbe;
2** Deux cercles concentriques, dont Tun peut se réduire à un point, enveloppent deux développantes d'une même courbe ;
3° Tout cercle qui a son centre sur la symétrique du
cercle ( — ] enveloppe une courbe qui a une inflexion au
point de contact.
104. Coordonnées rectangles, — Résolvons aussi, dans le système des coordonnées cartésiennes, le problème posé au commencement du présent numéro.
Soient les deux courbes C et v' rapportées au système tangenliel par rapport à la développée de la courbe v'; soit S<! le rayon de courbure de la courbe v'; les variables r' et ^' sont des fonctions de e'. Soient, comme au numéro précédent, la courbe G rapportée à des axes fixes 0^, 0/; x eiy les coordonnées du point de contact des courbes C et C par rapport à ces axes, ces coordonnées sont des fonctions d'une seule variable t. Si l'on désigne par a et (3 les coordonnées par rapport aux mêmes axes du point de contact E des courbes v et v', on a, par rapport à chacun des axes 0^, O^-, une équation semblable à la suivante :
(4) a^=^x -\-(r'—S^') cos(r'ds — xds).
Or, si Ton développe le cosinus et que l'on ait égard aux équations (i) du n° 103, on obtient la relation
fn. ., r^iSdx d[r''^a^) rf/ r'rfe'l
