DES ROULETTES

Comme les deux éléments ds el ds' sont égaux, il en résulte que les deux variables indépendantes, la première / relative à la courbe fixe, et la seconde f' relative à la courbe mobile, sont fonctions Tune dé l'autre.

Conséquemment, les seconds membres des, deux équations contenues dans le type (4') sont fonctions d'une seule variable: ce sont donc les équations de la roulette par rapport aux axes fixes.

Il serait possible de déduire par le calcul des équations (4') toute la théorie des roulettes; mais cette analyse serait moins simple que celle de notre texte.

Quadrature de l'enveloppe, -— Supposons que la courbe C (fig. 34) soit une droite, et soient C, v' deux courbes fer-

Fig. 3^.

mées, la seconde intérieure à la première; du la différentielle de Taire comprise entre ces deux courbes, et i2 Taire de Tenveloppe, lorsque G a fait une révolution complète sur la droite C; cette aire est celle qui a été balayée par le rayon qui joint le centre instantané A avec le point de contact E correspondant des deux courbes v, v'. La différentielle de celle aire se compose d'un trapèze, qui est la différentielle duy et d'un triangle provenant de la rotation de' de la ligne A£ au-

tour du point A, el dont Taire a pour expression - AE de'; on

2IO UTBE U. — COLUI» UPrOBTtES A DKS STSTklES, IIG.

a donc b relation, S. indiquani une somme.

Supposons [Jig. 35) maintenant que de chaque point de contact E des deux courbes v, v' on abaisse une perpendicu-

laire EM sur la tangente à la courbe C menée par le centre instantané de rotation,- le lieu des pieds de cette perpendiculaire est appelé podaire de la courbe G par rapport à la courbe v*; cette courbe est indépendante de la rotation de la figure, puisque les points A et E correspondants se trouvent sur la tangente à la développée de la courbe v': la ligne EM balaye une aire V qui est l'aire de la podaire ; elle a une enveloppe II'I'. Si l'on ajoute à l'aire balayée par la tangente AH l'aire u, on trouve aussi l'aire V de la podaire; on a donc l'équalion

3 V=-2(ÏM'-ÎË')rfe'-(-i£ÂM' !/«'-«-«.

Or, si l'on remarque que l'on a .

IM = EM -h El,