CHAPITRE II. — DES ROULETTES

Coordonnées du lieu. — Si Ton appelle o-, Tenveloppe du rayon r, qui varie d'après une loi donnée dans le plan de

Fig. 36.

la courbe Ci, les équations de celle courbe, d'après le système langenliel exposé au Chapilre lll du Livre I, seront, par rapport à la courbe C„ en appelant dU Tangle de contingence de celte enveloppe

/ X j- j . j j j sina, I I ( I ) riait = ast sin «,, ao-i = art -f- dsi cos «i, =

or, pendant que le plan de la courbe Ci se meut, il entraîne avec lui le rayon r,, qui a une enveloppe a dans le plan fixe. Si Ton rapporte cette enveloppe à la courber dans ce plan, on aura, di étant Tangle de contingence de celte enveloppe, les équations

/ #. I- f . I i I sinfl I I

(r) rdi = dssïnai da = — dr-hdscosa, ==•— + —:

or il est évident que Ton a les relations suivantes :

(a) a = ai, ds^ds^^ rdi=i r^dii, d((Tx — r,)=:rf((7+ r)^

lesquelles entraînent la condition

I , . ï da I

ai4 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DBS SYSTÈMES, ETC.

Cela posé, rapportons le lieu des positions des centres de courbure oblique de la courbe C, à la courbe enveloppe a, en employant le système de coordonnées tangentielles du Cbapitre IV. Soient dit Télément d'arc de courbe de lieu, Fi son rayon de courbure, a, l'angle du rayon r, avec l'élément rfZi, on aura les équations

(3) (r-h r,)di = sina, rf2,, û^(r-f- r, -h o-) = cosa,rf2,.

Si l'on divise l'une par l'autre, on obtient la relation

(.+ „)COl«. = — ^j— 4-5. = -^;

or, si l'on appelle ^t, ^ les rayons de courbure de o-i, o-, on obtient

(4) (r-f- r,)coia, = 1^, —•

Cette formule fait connaître l'angle du rayon r, avec l'élément dit.

Rayon de courbure. — Pour obtenir le rayon de courbure Fi, on fera usage de la formule (6") du n* 62, laquelle devient

rfffH'

Posons, pour abréger,

Xî = (r-Hr.)'-f-(^),

si l'on remarque que l'on a les relations

d(j di

r, rf(7i r d ld(s\ r d fdrTx r\

l dit r, di \ di j r, dix \dii r, /

et que X< est l'hypoténuse du triangle rectangle dont un côté