Problème VII. — Une courbe Sx roule (Jig, 37 ) sur une
autre courbe s; em^eloppe v d'une droite v' située dans le plan de la courbe roulante C,.
Ce problème, que nous avons ébauché au n^ 50, se présente
ds
ici comme conséquence du n® 103. Supposons que -~ =I>
soit réquation élémentaire de la courbe roulante rapportée à
un axe O'X', situé dans son plan et tangent à la courbe au
point 0', et que Téquation de la courbe fixe rapportée à Taxe
ds fixe OX soit -7- = R, D étant une fonction de a et R une fonc* de
lion de e» On suppose qu'au commencement du mouvement
les origines 0, 0' coïncident, ainsi que les axes OX, O'X'.
Conditions du problème. — Si Ton conserve les notations
du n^ 102, on aura les équations
dpt ^.^ ^ rfr, ^^^ ^ j dcft
rf^ ='"*''" s; = '*''''" r;=s:'
rde . rf(r-f-(7) i smn da
■-7— = sina, —^—5 -' = cosa, =r = h -j- ;
ds ds R r ds
Les équations de la première ligne représentent les équations d'un point situé à Tinfini dans le plan mobile sur la direction de AM, ce point étant la développée de la droite
O'M(v); dpi est la distance de deux droites parallèles AM, A'M' infîniment voisines, r, la distance de A à la droite donnée v'. Il faut joindre aux relations précédentes les conditions
(2) ds=.dsiy a -f- «1 = 2 7r.
On déduit
ds ds da, da '
la développée de Tenveloppe (v) aura donc pour équations
celles qui représentent le mouvement d'un rayon mobile kiL
ds dont un point A glisse sur une directrice C avec une vitesse -7-»
pendant que le rayon tourne autour du point A avec la vitesse
de rotation par rapport à la tangente -7-9 le rapport de ces
vitesses étant donné et égal à D.
Tangente à l'enveloppe v. — Si l'on ajoute entre elles celles des équations (1) qui donnent cosa, cosûi, on trouve la relation
(4) rf(r+r, + (7) = o;
or, Tt représentant la distance du point A à un point /jt, situé à Tinfini dans la direction AM, Mfjti sera une constante ei Ton aura la relation
(5) rfr,=rrf(A|:z,) = rf{AM + M/xO=:rf(AM);
d'une autre part on a aussi
(6) dr=:d{Aii);
donc la relation
(7) rf(7-f-rf<a=:0
donnera, en vertu de Téquation (i)fh condition
(8) .fl = MA-f-A|7. = M/iA.
