CHAPITRE II. — DES ROULETTES

Rayon de courbure, — En ajoutant entre elles les équations (i) relatives à sina, sina,, on trouve la formule

sina

ïï;

Cette équation et la précédente donnent le rayon de courbure de Tenveloppe, et Ton retombe sur des équations et des constructions déjà connues.

Si la courbe C est une droite, il faut poser ^ = o dans Téqua-

lion (9), qui devient

sina r

De là on tire la proposition suivante :

Le symétrique du centre de courbure de la courbe C, par rapport à la tangente à cette courbe se projette sur la direction de r, sur le centre de courbure de Vem/eloppe de la droite.

Quadrature, — Dans le cas où la courbe C est une droite (/gf.38), soit Q, Taire de Tenveloppe de la droite Vi, aire balayée

par la droite qui joint le point de contact M des courbes C et C avec le point de contact correspondant de la droite vi et de son enveloppe; soit V Taire de la podaire de Tenveloppe, aire balayée par la droite abaissée du pied de chaque ordonnée X de la courbe Ci perpendiculairement à la tangente menée par Tautre extrémité de x; soit U Taire balayée par la portion de la tangente à la courbe G,, comprise entre le point

de contact et le pied de la perpendiculaire dont nous venons de parler; soit W l'aire balayée par la projection de cette portion de tangente sur l'ordonnée x de la courbe Ci.

Si Ton remarque que dSl se compose d'un rectangle xdy provenant du passage d'un point de l'enveloppe de Vi à un

point infiniment voisin et d'un triangle - x^de^ provenant de

la rotation de la figure autour du centre instantané, on a la relation

û = - liX^dex H- 2xdr.

Si l'on remarque que rfV se compose d'un rectangle dont les deux dimensions sont xsina, d^sina, et d'un secteur dont l'angle est dei et le rayon x sin a, on a

y=-2x^ sin^adei -hlx sïn^adr;

si l'on retranche l'une de l'autre, on obtient

(lo) a^Y = -2x^cos^adei -+'lxcos^adx;

or le premier terme du second membre n'est autre que U, et le second terme n'est autre que W; on a donc la relation

(lO') i2z=:V-hU-f-W,

qui donne l'aire de l'enveloppe en fonction des trois aires U, V, W que nous venons de définir. Il va sans dire que, dans cette formule, les aires doivent correspondre à un même arc de la courbe Ct.

Jpplicfition. — La courbe Ci est un cercle de rayon OC{a) «t la courbe Vt un diamètre. Lorsque la courbe Ci roule sur la droite, elle enveloppe, après une rotation complète, deux

cycloïdes successives engendrées par un cercle de rayon -

pendant qu'il roule sur la droite C; donc û = - 7^^».