CHAPITRE II. — DES ROULETTES

Le lieu des projections T des pieds des ordonnées du cercle a sur les tangentes correspondant à ces ordonnées a pour équation

or Taire V complète de cette courbe, qui est quarrable, est ^Tua^; Taire U, engendrée paf la portion de tangente, est

donc ô^«*-

Le lieu des projections de points T sur les ordonnées correspondantes est

^Jy^^-^.».

et Taire W comprise entre cette courbe et le cercle est encore

quarrable et égale à ^ tta'; on a donc

- -KO} =z g 7r«' -f- 5 TTrt' -+- ^ Tza^ = -ô" ttaS

ce qui est la vériOcation du théorème.

Nous avons jugé convenable de vérifier ce théorème auquel nous sommes arrivé, parce que nous n'avons trouvé nulle part son énoncé.

109. Proelème VIIL — Une courbe Ci roule {Jig,3g)sur une droite et entraîne le plan qui la contient; roulette engendrée par un point Oi de son plan.

Tangente et point de courbure. — Il suffit, dans les formules du n® 101, de poser R égal à Tinfini. La tangente de la roulette se construit comme au numéro désigné; le rayon de courbure s'obtient plus simplement. £n efTet, la formule reialive aux rayons de courbure devient

(.) (l + l)sin« = i..

De là on déduit le théopème suivant :

Prenez le point D symétrique du centre de courbure de C, par rapport à la tangente en A ; projetez le double de cette

Fie- 39.

distance AD sur la direction de r, l'extrémité B sera le centre de courbure de la roulette.

Quadrature de la roulette. — Soient AO,, A' 0', deux positions du rayon r, infiniment voisines. Le quadrilatère infinitésimal AA'O'.O, se compose de l'aire AA'O,, qui a pour expression

-rîrfô,,eide l'aire OiA'O', qui a pour expression -rjrfe,, puisque la figure a tourné autour de i'axe de rotation d'un angle égal à l'angle de contingence de la courbe Ci,' l'expression de la difTérentielle du de l'aire de la roulette est donc

or, si l'on réduit les rayons de courbure de la courbe G, à partir du centre de courbure, dans le rapport K de R, à r,, en appelant V l'aire balayée par le rayon vecteur r, et W celle balayée par KR,, l'équation précédente donnera par iniégration

Considérons la podaire de la courbe C, par rapport au point O,,