CHAPITRE II. — DES ROULETTES
Taire élémenlaire balayée par OiM est - r] sin^fl,rf^,; celle ba-
layée par la tangente est - r] cassai de^, leur somme donne
- rjrfe». Si Ton appelle U et V, les deux premières aires, on aura l'équation
(3) WrrzV.-f-U;
conséquemment Téquation (2) deviendra
Si la courbe Ci est fermée et que le point A ait fait une révolution complète sur cette courbe, la somme des deux premiers termes du second membre de l'équation précédente représente Taire U de la podaire; on a donc pour une courbe fermée ce théorème, qui est dû à Steiner :
Si la courbe d est fermée ^ Vaire de la roulette décrite par un point 0» du plan de cette courbe roulant sur une tangente est le double de l'aire de la podaire de la courbe Ci par rapport au point Oi«
On déduit de Téquation (3) le théorème suivant :
Si Von prend sur les tangentes à un arc de développée d'un arc de la courbe Ci des longueurs égales à r,, l'aire balayée par r, est la somme des deux aires balayées : la première par les perpendiculaires abaissées du point Oi sur les différentes tangentes de rare de Ci, et la seconde pour les longueurs des tangentes à cet arc terminées aux pieds de ces perpendiculaires.
Rectification de la roulette. — L'arc élémentaire de la
roulette a pour expression nder, or Tare élémentaire de la
, . . OiMde, . ,
podaire a pour expression — : j puisque le quadrilatère
sin U|
ÏMM'0' est inscriptible; or OiM === r, sîn« : il résulte que les
arcs élémentaires des deux courbes sont égaux.
On déduit de là le théorème suivant, qui est dû à Steiner
2t»6 LIYRB II. — COURBES HAPP0RTÊB9 A DBS SYSTÈMES, ETC.
Si r oh fait rouler un arc de courbe Ci sur la tangente en l'une de ses extrémités, l'arc de roulette engendrée par un
Fîg. 4o.
point 0| est égal à l'arc de podaire obtenu en abaissant du point Oi des perpendiculaires sur les tangentes de cet arc.
Coordonnées rectangles, — Soient a, p les coordonnées du point 0, par rapport à deux axes rectangulaires dont Taxe des X coïncide avec la droite. On a
</r, ^ r.rfô,
pourvu que Tare 5, soil complé à partir du point qui, pendant le roulement, coïncidait avec Torigine des axes rectangulaires.
Ce sont les équations de la roulette.
Applications. — La courbe roulante Ci est donnée par réquation (n°75)
(i) r=r« cos '"mÔ;
on déduit de cette équation les coordonnées rectangles du point de la courbe
ToCOSÔ ToSinÔ
dx
cos'"m0 r^d&
cos
'^""mO
dr =
rode
cos'^mô sin(/n — i)Oy
cos(m — \)Q;
cos
"^mO
