CHAPITRE 11. — DES ROULETTES

et conséquemment

(3) lange = col(/n — 1)9, ds= ^ d9.

cos '"mQ

On déduit de ces équations, en remarquant que e — a -4- 0, les deux relations angulaires

par suite, les valeurs de r et R en fonction de a seront

^5) R=: — î , r=rr,sin *»«.

sin '^a

Si l'on a égard à ces valeurs de R et r, on trouve par Téquation{i) l'expression suivante de r, :

(6) =— —sin "•«;

or, si Ton fait usage de la relation (4) du n^ 101, on trouve pour la développée a^i de la roulette Téquation naturelle

. . dfii / f \ iv sin "*ai cos«,

' dai \m ) m sin^i

et pour équation naturelle de la roulette rfor, en appelant e l'angle que cet élément fait avec Taxe ox et C la constante de fintégration.

L'équation naturelle de l'équation (1) est, d'après la première des équations (5) et les relations ('4),

(01 ± = -l!- cos"('^«) -^- (--e\.

de 1 — m m — 1\2 /

Cas particuliers. — i" Si la courbe (i) est un cercle rapporté à un point de la circonférence, m est égal à — i; l'équation (8) donne l'équation de la c^cloîde.

2*» Si la courbe (i) est une parabole rapportée à son foyer,

m = -9 les équations (9) et (8) deviennent

ds 2ro rfo* To

de sin'e rfe sin*e

la première représente une parabole et la seconde une chatnette.

3** Si la courbe (i) représente une hyperbole équilatère rapportée à son centre m = 2, les mêmes équations deviennent

ds Te dd To

(1—2 sin*e)* 2sin'e

or la première appartient, d*après le n*" 35, à Thyperbole équilatère, et la seconde est l'équation naturelle de la courbe élastique rectangulaire.

Remarque I. — Il est bon de dire que les courbes (8) renferment comme cas particulier cette série de courbes que nous avons étudiées au n° 28 et au n" 29 en donnant à m des valeurs entières. Aussi toutes ces courbes sont les roulettes d'autres courbes contenues dans la formule (9) du présent numéro, et que l'on obtient en donnant à m les valeurs entières correspondantes.

Remarque IL — Il n'est aucun lecteur qui n'ait remarqué la puissance de la méthode que nous venons d'employer, puisqu'elle fait connaître toute la famille des roulettes engendrées par une famille de courbes données.

110. De Vépicy^clotde allongée ou raccourcie, — Si l'on fait rouler un cercle de rayon Ri sur un cercle de rayon R, un point du plan du premier décrit sur le plan du second une épicycloYde allongée ou raccourcie, suivant que le point est extérieur ou intérieur au premier cercle. La théorie de ces épicycloïdes est un cas particulier du problème I (n°101).