PLANE INVARIABLE

Ce Chapitre est consacré à l'étude des courbes engendrées par des points ou enveloppées par des droites d'une figure plane invariable qui se meut parallèlement à son plan. La détermination des éléments de ces courbes dépend de l'analyse précédente et se fait d'une manière aussi rapide que naturelle, comme cela va résulter des questions que nous allons résoudre.

§ I. — Principes.

lia. Problème I. — Le mouvement d'un plan mobile est déterminé par la condition que deux de ses points 0, Oi glissent constamment sur deux courbes v, Vi situées dans le plan fixe : trouver la courbe v, engendrée par un troisième point fixe O2 du plan mobile,

1"* Il est évident que le mouvement du plan mobile est le mouvement parallèle au plan fixe le plus général qu'on puisse supposer. Car, quel que soit le mouvement d'un plan mobile parallèlement à un plan fixe, deux points déterminés du premier plan parcourent deux courbes déterminées sur le second. Donc, réciproquement, si l'on donnait les deux points dans le plan mobile et les deux courbes trouvées sur le plan fixe, on aurait le mouvement dont il s'agit.

2® Ce mouvement est équivalent à un mouvement de roulement d'une courbe mobile Ci sur une courbe fixe C, la courbe mobile conduisant son plan. £n effet, si l'on se reporte au problème des roulettes, n^ 101, on voit qu'un point 0' pris sur le plan mobile engendre une courbe v sur le plan fixe; si

234 LIVRB n. — COURBES RAPPORTEES A DES SYSTÈMES, ETC.

Ton considère un second poini 0'^ sur le plan mobile, ce point engendre une seconde courbe vi sur le plan fîxe, de sorte que le mouvement de roulement du plan mobile serait produit si ce plan était conduit par les deux points 0' et 0', invariablement liés à ce plan et glissant sur les deux courbes v, Vi préalablement tracées sur le plan fixe. Ces deux mouvements sont donc équivalents.

3^ Il est toujours possible, quand le mouvement est défini par les conditions du présent problème, de trouver le mouvement de roulement équivalent; il suffira, dans les positions successives des points 0', C, sur les courbes v, Vi, de mener des normales aux courbes en ces points. On marquera sur le plan mobile et sur le plan fixe la série des points dMntersection A, Al, Aa, A3,..., B, B„ Bj, Ba des normales correspondantes; la série des premiers points donnera la courbe roulante et la série des seconds la courbe directrice. Et il est évident que le mouvement sera un mouvement de roulement produit par la courbe AAtA3...A» roulant sur la courbe BB|B2...B„. En effet, lorsque A et B coïncident, le mouvement élémentaire est un mouvement* de rotation autour du point de coïncidence, puisque les points 0' et 0', décrivent des arcs de cercle infiniment petits ayant pour rayon, le premier O'A, et le second 0', A. Par la manière dont les polygones infinitésimaux AA.Aj... A„, BB, B3...B„ ont été construits, A A, elBB» sont égaux; donc les points Ai et B, sont amenés en coïncidence par la rotation, et la nouvelle rotation élémentaire se faisant autour de ce nouveau point de coïncidence aimène la séparation des éléments AA,, BB, et la coïncidence des éléments A, As avec Bi B,..., et ainsi de suite.

Normale. — D'après cela, si par les points 0', 0', on élève des normales aux courbes v, Vi, on déterminera par Tinterseclion de ces normales le point A centre de rotation instantané; en joignant 0\ avec le point A, on a la normale à la courbe Va.

Rayon de courbure. — Les centres de courbure (n*» 102) de v et de Vi sont situés le premier sur O'A, le second sur 0', A; or, si Ton prend les conjugués harmoniques rf, dx du point A, le premier par rapport au centre de courbure de v et le symétrique de 0' relativement au point A, le second par rapport au

GHâPITHB III. -- DES GOUBBES PRODUITES, ETC. 235>

centre de courbure de v, et le symétrique de Of^ relativement au même point A, les trois points d, di, À déterminent une circonférence de cercle. Si maintenant on appelle rf, l'intersection de ce cercle avec la ligne qui joint le point 0'^ au point A, le quatrième harmonique du symétrique du point O'j, du point A et du point A (A étant le centre de symétrie) sera le centre de courbure de la courbe v, engendrée par le point 0\* On connaît donc la tangente et le centre de courbure de la courbe V2 à chaque instant du mouvement.

Remarque. — Le cercle qui passe par les points A, rf, rf, a pour diamètre AD qui coïncide avec la normale commune aux deux courbes C, C» en leur point de contact A; d'ailleurs les points A, D, le centre de courbure de la ligne C, et le symétrique du centre de courbure de la ligne C, par rapport au point A sont en proportion harmonique. Donc, Tun de ces deux centres étant connu, l'autre centre est par cela même déterminé.

113. Problème II. — Le mouvement d'un plan est déterm,iné par la condition que deux courbes v', v\ situées dans son plan restent constamment tangentes à deux courbes v, Vi situées dans un plan fixe ; courbe enveloppe d'une courbe v\ située dans le plan mobile.

Si des points de contact E, E, ( n® 103) des deux courbes v', v', avec les courbes v, vi on élève des perpendiculaires, leur intersection détermine le point A. Or les centres de courbure des courbes v', v sont situés sur EA, et de même les centres de courbure des courbes v\, v, sont situés sur Ei A; donc, si Ton prend les conjugués harmoniques d, d^ du point A, le premier relativement au centre de courbure de v et du symétrique du centre de courbure de v' par rapport à A, le second relativement au centre de courbure de v, et au symétrique du centre de courbure de v\ par rapport au point A, les trois points rf, rfi, A déterminent un cercle. Si maintenant on appelle rfj Tintersection de ce cercle avec la perpendiculaire abaissée du point A sur la courbe v'j, et qu'on prenne le symétrique par rapport à A du centre de courbure de la courbe v',, le quatrième harmonique de ce point et des points A et d, sera le

a36 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

centre de courbure de la courbe vs enveloppe de la courbe v\. Cette construction donne à la fois la tangente et le rayon de courbure de l'enveloppe Vs.

Des remarques analogues à celles qui terminent le n^ 101 sont également applicables à la question présente*

On résoudra sans difficulté et de la même manière la question suivante :

Problème III. — Le mouvement d'un plan est déterminé par la condition que l'un des points du plan mobile glisse sur une courbe fixe y tandis qu'une courbe tracée dans le même plan se trouve tangente à une courbe tracée dans le plan fixe .trouver l'enveloppe d'une courbe située dans le plan mobile»

Remarque. — Dans les problèmes précédents, on pourrait, au lieu de la courbe v\ tracée dans le plan mobile, donner la courbe Vj enveloppe de v\. La proportion harmonique donnerait également la tangente et le rayon de courbure de la courbe v\.

Discussion, — Traçons (fig. 4^) tangenliellement aux courbes C, C au point A et du même côté que la courbe C deux

Fig. 42.

cercles, le premier de diamètre AD, le second de diamètre — > que nous appellerons cercle (AD), cercle ( — j; traçons les deux symétriques par rapport à la tangente au point A.