CHAPITRE III. — DBS COURBES PRODUITES, ETC

Le centre de courbure d'une courbe v' située dans le plan mobile peut occuper diverses positions.

I*» S'il est intérieurau cercle symétrique du cercle ( — j et

s'éloigne du point A, le cenire de courbure correspondant est situé dans la même région par rapport à la tangente aux courbes C, C au point A, et sa distance au point A varie de zéro jusqu'à l'inOni. Lorsque le cenire de courbure de v' est à une distance de A moindre ou plus grande que la demicorde du cercle ( — ) issue de ce point, le centre de courbure

de l'enveloppe est intérieur ou extérieur au cercle ( — )•

2** Si le centre de courbure de v' est situé sur la circonférence du cercle symétrique du cercle ( — )> le cenire de

courbure de l'enveloppe est situé à l'infini.

3» Si le centre de courbure de v' est situé entre les symétriques du cercle ( — j et du cercle (AD), le cenire de courbure de l'enveloppe est situé dans la seconde région du plan fixe par rapport à la tangente aux courbes C, C, au point A, partant de l'infini et se rapprochant du cercle (AD).

4® Si le centre de courbure de v' est situé sur le symétrique du cercle (AD), le centre de courbure de l'enveloppe est situe sur le cercle (AD).

5° Si le centre de courbure de v' est extérieur au symétrique du cercle (AD), le cenire de courbure de l'enveloppe est intérieur au cercle (AD).

6° Si le cenire de courbure de v' est à l'infini (point d'inflexion), le centre de courbure de l'enveloppe se trouve situé

sur le cercle ( - —

7** Si le cenire de courbure de v' partant de* l'infini négatif s'approche du point A, le centre de courbure de l'enveloppe

/ A Ti *

partant de te circonférence du cercle ( — j s'approche du point A.

a38 LIVRE II. — GOUEBBS RAPPORTEES A DBS STSTftHJSSy ETC.

8^ Si le centre de courbure de v' est situé en un point de la tangente aux courbes C» C au point A, le centre de courbure de Tenveloppe v est le symétrique de ce point par rapport aii point A.

114. De Vaccélération de la vitesse. — La vitesse d'un point mobile s'accélère par suite de la variation de son intensité et de la variation de sa direction. Pour obtenir cette accélération pendant l'unité de temps, on prend des lignes proportionnelles aux. deux vitesses pendant deux états infiniment voisins, la première ligne ayant une direction contraire à celle de la vitesse qu'elle représente, et la seconde même direction; on prend la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux lignes, et on la divise par le temps infiniment petit; ce quotient est la mesure de l'accélération totale.

Ainsi soit v la vitesse du mobile à l'instant que l'on considère, V -^ dv sa vitesse après le temps dt^ de l'angle que la direction de la seconde vitesse fait avec la direction de la première; en appelant I la diagonale du parallélogramme, on aura

et conséquemmeni

I2 4^(^ -^ rff )sin^-rfe -f- d^f^

do dP

En négligeant les infiniment petits de l'ordre supérieur, et en appelant rfo- l'arc infiniment petit de la trajectoire décrite par le pointa, son rayon de courbure, on trouve finalement

, , V v'de dv^

dt^ dd^ do

La formule que nous venons d'écrire prouve que, si la direction restait la même, l'accélération aurait lieu suivant la tangente; ce serait l'accélération provenant de la variation de

l'intensité de la vitesse; elle aurait pour expression -i-? puisque

GHAPITRB III. — DES GOCEBES PRODUITES, ETC. aig

dt serait nul. Si, Tintensilé restant constante, la vitesse variait

de direction, -7- serait nul; Taccélération aurait pour intensité

v^ ds X

-T— et serait normale a la trajectoire, puisque, dans ce cas, le

parallélogramme des vitesses serait un losange et que la diagonale serait bissectrice de Tangle des côtés coniigus t' et — t'.

Donc, en représentant par ;jj ^t -^ ces deux accélérations,

on a la relation

12 I» Ta

On voit que l'accélération totale est la résultante, suivant le rectangle des forces, des deux accélérations normale et tan-, gentielle, et qu'elle fait sfvec la tangente et la normale n à la trajectoire des angles dont les cosinus ont les expressions suivantes :

(2) C0S(I,rf(7)=~=: -, COS(I, /l)=Y^ =

/^ di^ 1 /(,« dv^

De l'accélération normale d'un point de la figure pendant le roulement. — Portons-nous au problème du n" 101 et cherchons l'expression de l'accélération normale d'un point de la figure mobile dont les coordonnées tangeniielles par rapport à la courbe Ci sont r, et «i. Le déplacement réel de ce point, par suite de la rotation élémentaire rfw de la figure mobile autour du centre instantané A de rotation, sera r, rfw; donc, de étant l'élément d'arc de la roulette, l'accélération norpoale sera

I„ r] d(ti^ de dt~' dt' dd' or on a

rfw :=: de -h dex = de -{- dô.

En ayant égard à la première des équations (i) du n° 101, on

34o LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES STSTllVES, ETC.

aura

ae = aw ;

conséquemment

I„ rj dcô^ /rfw ds sinaA

di "~ dt* \5? "" 5? r, )

OU bien

In r]d(ù*ds/\ I sinaA

Telle est l'expression de l'accélération normale du point dont il s'agit.

Des centres instantanés d'accélération normale. — On appelle de ce nom les points pour lesquels l'accélération normale est nulle pendant le mouvement de 'la figure mobile.

D'après la nature de l'équation (3), ces points sont donnés par réquation , , , sin a, I I

laquelle montre que, si l'on mène un cercle tangent à la courbe C, en son point de contact avec la courbe C, ce cercle ayant pour diamètre la longueur L donnée par l'équation