CHAPITRE m. — DES COURBES PRODUITES, ETC. I

Dans ces deux mouvemenis, les courbes enveloppes situées dans le plan fixe et les courbes enveloppes situées dans le plan mobile ayant des positions relatives identiques, on obtient les théorèmes suivants :

Théorème I. — Si dans le premier de ces mouvemenis la courbe v' située dans le plan P' a pour enveloppe la courbe v située dans le plan P , dans le second mouvement la courbe v située dans le plan P aura pour enveloppe la courbe v' située dans le plan P'.

£n effet, les positions relatives de la figure située dans le plan fixe et de la figure génératrice située dans le plan mobile seront successivement les mêmes lorsque Tune des deux figures restera immobile, ce qui démontre le théorème énoncé.

Corollaire. — Les équations (i) du n** 103 relatives à ces deux mouvements seront successivement les mêmes.

Théorème II. — - Si le mouvement d'un plan P' est déierminé par la condition que deux courbes données v', v'j, situées dans le plan P', enveloppent deux courbes v, Vi, aussi données et situées dans le plan P, le mouvement du plan P, réglé par la condition que les deux courbes v, Vi, situées dans le plan ^, enveloppent les deux courbes v', v, , situées dans le plan P', sera réciproque du premier mouvement, c'est-à-dire que dans le premier cas la courbe C' roulera sur la courbe C, et dans le second cas la courbe C roulera sur la courbe C

Théorème III. — Les mêmes choses étant données que dans le théorème II, si l'on considère dans le premier mouvement la courbe v\ située dans le plan mobile et la courbe enveloppe Va située dans le plan fixe, dans le second mouvement, v\ sera l'enveloppe de la courbe v,.

§ II. — Applications.

Les principes généraux que nous venons d'établir sont d'une grande fécondité; ils permettent de résoudre sans difficulté, soit géométriquement, soit analytiquement, les pro-

blêmes les plus variés sur le mouvement d'un plan, comme cela deviendra évident dans les applications qui suivent.

117. Problème V. — Une droite de longueur donnée glisse sur une courbe donnée en restant tangente en une de ses extrémités à cette courbe^ et en entraînant avec elle le plan qui la contient; mouvement de ce plan.

I® Considérons (Jig. 44) ^^ droite AB dans une de ses posi-

Fig. 44.

tîons tangente à la courbe fx. Puisque cette droite est tangente en son extrémité A à la courbe, elle a deux points communs avec cette courbe en ce point. Or, si par ces deux points on élève des normales à la courbe |ut, on voit que le centre instantané de rotation w sera le point de concours de ces deux normales, c'est-à-dire le centre de courbure de la courbe fx. Donc le lieu des centres instantanés dans le plan fixe n'est autre chose que la développée de la courbe [l.

Pendant le mouvement de AB, le lieu des centres tù sur le plan mobile ne sera autre chose que la perpendiculaire élevée à l'extrémité de AB en A.

Donc le mouvement du plan mobile est le même que celui qui serait produit par le roulement de AC perpendiculaire en h. à AB sur la développée de fx, AC étant solidairement liée avec AB.