CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC

loppe le cercle qui a pour centre le point qu'enveloppe la parallèle à L menée par le sommet M et pour rayon la distance de ce point à la droite L.

g"" Tout cercle tracé dans le plan mobile enveloppe un cercle concentrique du cercle I, ou bien une courbe parallèle du limaçon de Pascal.

Mouvements équivalents.

Un mouvement identique avec celui qui a lieu peut être produit d'une infinité de manières; nous nous contentons de signaler les suivantes :

i"* Roulement du cercle, lieu des centres instantanés dans le plan mobile sur le cercle, lieu des centres instantanés sur le plan Gxe. Comme le premier cercle a un rayon double du rayon du second et que les concavités ont le même sens, on voit que toutes les courbes engendrées par des points dans le mouvement défini dans le numéro précédent sont des hypocycloïdes allongées ou raccourcies, produites par le roulement d'un cercle sur un autre dont le rayon est la moitié du rayon du cercle mobile.

2"* Mouvement d'un angle constant situé dans le plan mobile dont les deux côtés restent tangents à deux cercles situés dans le plan fixe et ayant leurs centres sur le cercle MOO'.

3® Mouvement d'une droite de longueur donnée, située dans le plan mobile, et dont les deux extrémités glissent sur deux limaçons de Pascal obtenus pour un même cercle directeur.

4** Mouvement d'un plan mobile par cette condition qu'une droite située dans ce plan enveloppe un cercle ou un point situés dans le plan fixe, et qu'un point situé dans le plan mobile parcourt un limaçon de Pascal situé dans le plan fixe, etc., ce limaçon étant relatif à un cercle directeur passant |par le point situé dans le plan fixe.

120. Problème VIII. — Un plan se meut parallèlement à un plan fixe par cette condition que deux points et 0' du plan mobile se trouvent toujours sur les côtés d'un angle XMY situé dans le plan fixe; nature du mouvement du plan mobile.

a54 LIVHE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈHBS, ETC.

Le mouvement du plan mobile (Jig'^G) est inverse de celui qui a été considéré dans le n"" 119. D'après cela :

I® Le lieu des centres instantanés dans le plan fixe sera le cercle dont le centre est M et le rayon Mcù qui est le diamètre du cercle circonscrit au quadrilatère M0&)0'.

a® Le lieu des centres instantanés dans le plan mobile sera le cercle circonscrit à ce quadrilatère.

3« Tous les points 0*", 0'" de la circonférence de ce cercle mobile engendreront des droites concourantes en M.

4° Tout point N du plan mobile décrit une ellipse. En effet, tirez une droite par le point N et le centre I du cercle mobile OwO'M, joignez les intersections 0", 0'" de cette droite et du cercle avec le sommet M, le mouvement du plan mobile sera le même que si deux de ses points 0", 0'*' glissent sur les deux droites rectangulaires MO", MO''' situées dans le plan fixe. D'après cela, on voit que N décrit une ellipse, dont le centre est M, dont les axes sont dirigés suivant MO", MO*', et tels que leur somme ou leur diiîérence est constante, suivant que le point N est situé ou non entre les points 0" et O*'.

5" Le point I, centre du cercle mobile, décrit un cercle de rayon [ML

6"* Si des points tels que N sont à égale distance du point I, les ellipses décrites seront égales, concentriques; leurs axes auront des directions différentes, mais leur somme ou leur différence sera constante.

7° Toute droite NI passant par le centre I du cercle mobile wOMO' enveloppe une hypocycloïde dont le cercle directeur est le cercle fixe et dont le rayon est le quart du rayon du cercle fixe. En effet, cette droite est le rayon du cercle f*>OMO' qui roule sur le cercle fixe (n° S5).

8" Toute droite L parallèle à la droite NI enveloppe une parallèle de Thypocycloïde enveloppée par NI (n** 55).

9° Tout cercle situé dans le plan mobile enveloppera une courbe parallèle de Tune des ellipses de la série énoncée (4**) du présent numéro.