CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC

La première représente une parabole tangente en son sommet à Taxe des y et symétrique par rapport à Taxe des x, et la seconde une parabole bicarrée.

2** Courbe engendrée par un point. — Un point quelconque de 00' engendre une conchoïde, excepté le point 0' qui engendre la droite PP'.

3** Courbe engendrée par un point quelconque M du plan mofrite, — Soient j?', y les coordonnées rectilignes de ce point par rapport aux axes O'j?', 0'^ situés dans le plan mobile; et X, Y ses coordonnées par rapport aux axes 0^, 0/ situés dans le plan fixe; on a, d'après le «principe des projections, pour représenter les équations du point dans le plan fixe,

( X = a -+- ^'sinô — r'cosÔ, (3) J *

( Y = atang6 — j?' cosô — j'sinô.

Si Ton élimine d entre ces deux équations, qu'on représente par / la distance du point M au point 0' et par i l'angle qu'elle fait avec l'axe 0' x\ on aura d'abord les deux relations

/ /sin0= (X — a)cos/±sin/^/2 (X — a)%

( /cos0 = — (X — a)sin/dzcosiV— (^ — «JS et ensuite l'équation

y ___ (X — a)cosidzsiniV^'— (X — a)' (5) { (X— -a)siniq= cosi^l*^ {\ — ay

qui est Téquation du lieu entre les coordonnées X et Y.

4* Courbe engendrée par les traces d'un point du plan fixe sur le plan mobile, — On trouve les deux équations

^'rrrXsine — Ycosô, ^ ^ V' = -^-Xcose-Ysin0;

conséquemment, en représentant par L la distance du point M

au point 0, et par I Tangle qu'elle forme avec 0^, on aura

( Lsinei=: ar'cosI=hsinIi/L'— i'%

( L cos — — x' sin I ±: cosi v^ — :r'%donc réquation du lieu sera

(8) f — , hF ^L' - x'K

— x' sinldzcosIyL^ — x**

Si L = a et I = o, on a

)/a' — x'* >Ja} — x''^

5° Eni^eloppe d'une droite située dans le plan mobile, — 1° Si la droite est parallèle à 00', elle enveloppe un cercle «ayant pour centre ;

2® Si, sans être parallèle à 00', elle passe' par le point 0', elle enveloppe une parabole;

3** Si elle est quelconque, elle enveloppe la courbe parallèle de la parabole qui est Tenveloppe de la droite parallèle à la droite dont il s'agit, cette droite parallèle étant menée par le point 0'.

6** Enveloppe d'une droite menée dans le plan fixe, — Dans le mouvement inverse, c'est le plan du point et de la droite PP' qui devient mobile, de telle sorte que PP' passe par le point 0' et que l'extrémité de OA s'appuie sur la droite 00'. De là on déduit :

i<» Une droite parallèle à PP' enveloppe un cercle dont le centre est en 0' ;

2» Si elle passe par le point 0, c'est la courbe enveloppe d'un côté d'un angle invariable dont un côté indéfini passe par un point fixe 0', tandis que l'autre côté fini s'appuie par son extrémité sur une droite 00' donnée.

3° Toute autre droite enveloppe une parallèle de la courbe précédemment indiquée.