CHAPITRE m. — DBS COURBES PRODUITES, ETC

sur la courbe BC. Mouvement d'un point M situé dans le planmobile,

Soît la courbe BC rapportée à deux axes rectangulaires situés dans le plan fixe, 0^, Oj passant par le point 0, et r=:f{$) réquation polaire de cette courbe par rapport à et à l*axe des x, Ox. Soit la courbe B'C rapportée à deux droites O'^', Oy rectangulaires situées dans le plan mobile, et soit r, =ft{Ôi) son équation polaire par rapport à 0' et à Taxe 0':r'. Soient ^', j' les coordonnées de M par rapport aux axes mobiles, et X, Y les coordonnées du même point par rapport aux axes fixes, on a les deux équations

j X=:rcos^ — :i/cos(^,~^)--7'sln(0, -r-O), ^*' 1 Y = rsin0-+-.r'sin(e, — 0) — 7'cos(e, — 0);

or, puisque les deux rajons vecteurs r et r, sont les mêmes« on a réquation

portant dans les équations (i) la valeur de 0i en fonction de 6 tirée de cette dernière équation; les équations (i) représenteront le lieu des positions du point M sur le plan fixe. On déduit de ces rebli^^Hs les équations suivantes :

( :c' = r. cosô, -4- Ysin(0, ~0) — Xcos(0. ~0), ^^ ^ I j':^r,sin0. -Ycos(0, — 0)— Xsin(e. — 0);

et si Ton exprime en fonction de 0i au moyen de réquation (2), on aura les équations du lieu des positions dans le plan mobile d'un point M situé dans le plan fixe.

Si Ton élimine 0, 0i entre les équations (i) et l'équation (2), on aura une relation entre X, Y, x'^ y\ et cette équation aura cela de remarquable que, suivant qu'on y considère x\ y' comme constantes et X et Y comme variables, ou bien ces dernières comme constantes et les premières comme variables, on aura l'équation cartésienne du lieu dans le plan fixe ou dans le plan mobile.

Podaire de V enveloppe d'une droite RS située^ dans le plan

274 LIVRE II. — GODBBIS EAPPORTteS A l>BS SfSTfaUS, ETC.

mobile par rapport au point O situé dans le plan fixe. — Soit (^7^.52) RS silué dans le plan mobile; si des points O et G' on

Fig. Sa.

abaisse des perpendiculaires p et pi sur cette droite, et qu'on représente par e et «i, ^ et ^x les angles que cette droite et la direction des perpendiculaires font avec les axes 0^:, Ox* y on aura les deux relations linéaires

p — pi ==rcos(ip — 0) = rcos(4'i — 0i)

et les deux relations angulaires

Donc, par suite de l'équation (3), 9 est une fonction de i|> et de e,y et Bx une fonction de ^x et de e. De là résulte que la première des équations (3 j donne la valeur du rayon vecteur p en fonction de vj; et des deux constantes e, et pi, tandis que la seconde donne la valeur du rayon vecteur pi en fonction de ^x et des deux constantes e et p. La première est donc l'équation de la podaire dans le plan fixe, d'une droite située dans le plan mobile, par rapport au point 0, et la seconde est l'équation de la podaire dans le plan mobile, d'une droite située dans le plan fixe, par rapport au point O'.