OG O'G

sin(a-f-ai) sina sinai

Si Ton remarque que Ton a, par suite des équations polaires des deux courbes BC, B'C, les équations

sina = -7-^ cosa

sinai = -7-5 cosa,

dst

rdQ

et que, r'et r, étant égaux, on a aussi

les équations (i) donnent

l___dQj^ de (In , , p~^ dst dr dst^

'*^ ^ l de dO^dr^

Pi ds dfx ds^

mais, d'une autre part, on a les deux relations

(5) ^p 4- 6 = arc tang = ^;-^ , +i — ô» = arc tang = ^;

donCy par suite des équations (3) et (5), on peut exprimer G et Oi en fonction de ip ou de ^i.

De là résulte que la première des équations (4) donne -

en fonction de vL, et que la seconde donne en fonction de 4^..

La première est donc le lieu des centres instantanés dans le plan fixe, et la seconde le lieu des centres instantanés dans le plan mobile.

Si Ton voulait obtenir les équations de ces deux lieux en coordonnées cartésiennes, on projetterait le périmètre du triangle 00' G d'abord sur les deux axes Oa:, Or, et ensuite sur les deux axes O'a/, O'j'.

132. Problème XXI. — Une droite (Jig. 54) OM s appuie par une de ses extrémités M sur une courbe MS et reste tangente

Fig. 54.

à une autre courbe Oo*, ent rainant avec elle le plan qui la contient, lequel se meut parallèlement au plan commun des

GHÀt»ITRE III. — DES COUBBCS PRODUITES, ETC. 277

deux courbes. Oc et MS lieu des centres instantanés de rotation dans le plan fixe.

Soient les courbes, 0<r, MS données par leurs équations naturelles

Si Ton rapporte la courbe s à la courbe o-, en conservant les notations d'usage, on a les équations (n® 62)

, , , rdt dir-\-(j) i sina da

' ds ds ' 1\ r ds

Si l'on élève aux points et M des normales, leur intersection Mi est un point du lieu cherché M, Si; soient OM, = r, et ai et a. les angles que la tangente au point Mi à cette courbe fait avec les deux normales. Nous représentons les éléments dé cette courbe par les mêmes lettrés représentant les éléments correspondants de la courbe MS; mais,»pour les différentier, nous les affectons d'un indice i.

Équation du lieu des centres de rotation, — Le triangle OMMi donne la relation

OM, = OMcota,

on en déduit

dr Donc la question est ramenée à calculer -r- en fonction de e,

question déjà résolue au n® 74; en posant -7- = r'= \jj(e), l'équation du lieu rapportée à la courbe 9 sera

Soit Cd' la développée de la courbe cr, on voit que la distance CMi du point Mi à cette développée comptée sur la tan-

378 UTM n. — oocms MÂwrcmTÊm a dis srntais, ne.

gente est égale à ^; donc, si l'on rapporte le lieu des points H. à cette développée (système fangentiel), l'équation du lieu

or la déTcloppée a' est donnée par la relation </ -hSi.=z consf., de laquelle on déduit

qui est l'équation naturelle de cette développée (n^'42 et 43). Tangente. — Rapportons le lieu des points Hi à la développée (t\ nous avons les équations

(6) -^ — j ^=cos«,, —j — =sina, , ^ ,, — ^ = cotfl,/

dsi dsx r ar

Si Ton différeniie celle ^es équations ( 2 ) analogue à la dernière des équations (6), en ayant égard aux équations (2)» on trouve

da r'sina,

égalant cette valeur de -r- à celle qui est fournie par la troisième des équations (2), on obtient

( 7 ) cota, — cota = -f-i — Ur — D '

r'sina \N R/

qui est semblable à celle que nous avons trouvée au n^23, et qui, par conséquent, se construit de même manière et donne la direction de la normale à la courbe f|.

Rayon de courbure. — Si Ton remarque que Ton a

dttx II

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