CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC. 28 f

Élément de l'arc dst.~- On a, d'après les formules (2) et (6) du numéro précédent,

,,. dsi r' sin« 1

ds r sinai cosi

Rayon de courbure. — La formule (9) du numéro précédent donne

r' sin'a / i i\ 2 cola 2 r"

r' or, si Ton y remplace N, par sa valeur -: — » et qu'on en éli-

sm Ai

mine r' au moyen de l'équation (3), on obtient Téquatiorv

simple

I rr — r ' . i

(6) -:=: — sina —

^ R, cos'i r^ rsina

qui donne une construction facile du rayon de courbure Ri-

Longueur de la tangente T, de la normale N,. — On a les relations

- r' rtangat

, . , cosa, sina sin(ai — a)

Tî.=:

sînai sina sin(a — ai)'

la sous-tangente et la sous-normale sont données par les formules

.Q, rsina, tangai rcosa,

sina sin(a, — a) ' sina sin(a, — a)

134- . Seconde méthode de solution; vérification des formules précédentes, — Soient x et jles coordonnées du point M» par rapport à deux axes rectangulaires dont Taxe des x cpïn^ cide avec O'S; cherchons la solution du problème précédent dans ce système de coordonnées.

Point de la courbe. — Soit s la distance du point 0' au point M; on a, pour déterminer le point Mi du lieu les deu%

282 LIVRE II. — COOEBES lAPPOETtES A DBS STSTtaSS, ETC.

équations, en ayant égard aux équations (a) du n"* 13^,

r ds ^ ' -^ sina ai

et comme * et -p sont des fonctions de e (n* 74), l'élimination

de cette variable donnera Téquation de la courbe en coordonnées rectangles.

Si s n'est pas connu en fonction de e, on opérera de la manière suivante : la courbe a- étant connue, en appelant x' et y' les coordonnées du point de cette courbe et j',, x\ des constantes, on a

(3) x' -— x\= j cosed^, r' — j't^ / sinerfo-;

X = x'-\- r' cote, r = -r-r- '-,

donc on a les équations

l x=x\-\' I coserfo--!-^', cote-hcoie I sinerfcr,

/ r = -r^- -+--rV / sinerfo-, I "^ sin'e sin'e J^

qui seront les équations du point Mi.

Tangente, — On a

.de \de) (2) lange = —^--Z.;

pour vérifier celte formule, il suffit d'y substituer les valeurs de -7-9 -rj tirées de la deuxième des équations (i) ; on obtient

{1') tang/= h cola,