CHAPITRE III. — DBS COURBES PRODUITES, ETC

laquelle concorde avec réquatîon (3) du n'' IBfc, après réiimination de Ai*

Élément de Varc dsi. — L'élément rfs, est donné par Féquation suivante, dans laquelle s' et 5'^sont les dérivées première et deuxième de s par rapport à e :

(5) ds] = {s''-hs"^)de';

celte formule concorde avec la formule (4) du numéro précédent. £n effet, en substituant les valeurs de s' et de s^ tirées de la deuxième des équations (i), on a

(5') ds]= . , (r^-4- r'^sin'a -*- 2rr' cosasina),

ou bien, en ayant égard à Téquation (4) du numéro précédent et en développant.

ds]z= -r-T- sr'sm'a-f- r» --:— ^ : -h cosa

sin*a{ Lsm(a — fl, ) J

rfe* r

sin^a sin^(a

et, conséquemment.

dsi ds ""

cosi

Rayon de courbure R,. — Il est donné par la formule

(6) g- = -^-^^ — sm»(a — a, );

or, en ayant égard aux valeurs des dérivées de s tirées de la deuxième des équations (i), on obtient l'équation

, . I (rr' — r'»)sin^a--r' . ^. .

7) =r- = ^ T-^- sin*(a — a,),

' R, r'sm'a '

qui n'est pas distincte de l'équation (6) du numéro précédent* 135. Déformation de la courbe, lieu des centres instan'^

immés* — Les cooftiolwéesriçctaaztcsd'ini point qaeteonqiie do lieo étant

il en résulte qae, si Ton înfiéchîi la loosuear s sur une courbe telle que pour celte longueur la tangente en ce point fasse, arec une ligne fixe qui serait la position primitire (Xx, un

angle égal a e, le rajon de courtnire serait égal à -r-t c'està-dire â jr. DoDC le lieu des centres instantanés !!• proTÎent du déTcloppement de cette courbe sur une droite (Xx, arec cette condition que les rayons de courbure sont entraînés chacun par chaque élément correspondant restant perpendiculaire à cet élément. Le lieu des centres instantanés n'est donc autre chose que le Heu des centres de courbure de cette courbe après le déreloppement tel que nous venons de l'indiquer.

Proposons-nous d'étudier la nature de cette courbe.

Coordonnées du point. — Soient X et Y les coordonnées d'un point de cette courbe. D'après ce que nous avons établi au numéro 1^, on a, en supposant nulle la constante ^«,

(2) fr(e) = ^^Jsmtda;

donc les coordonnées rectangles X et Y sont

(3) \= I — :—;; — Isineda, Y= I —, — / sin£</a.

J sin'e J J sine J

Tangente. — L'angle que cette tangente fait avec Taxe des a: est tf comme cela résulte de la nature de la courbe et comme on peut le vérifier par la différentiation des équations (3), puisque Ton a

ifK dY

Rayon de courbure, — Soit R ce rayon de courbure, on a R