CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC

égal à/'(e) d'après l'équation (2), ei conséquemmenl

(5) Rsin'e=:/^sineûfe; si Ton différenlie celte équation, on trouve

(6) 2 Rcose-hR'sine^:^.

Telle est la relation qui lie le rayon de courbure ^ de la courbe da avec le rayon de courbure de la ligne qui nous occupe et le rayon de courbure de sa développée. Si l'on se reporte à la figure, on voit que si, à partir du point M, on prend une longueur égale à 2R double de la normale MMi et en sens inverse de cette normale, qu'à l'extrémité de celle longueur on mène une perpendiculaire égale au rayon R' de la développée, dans le sens des x positifs, le centre de courbure de la courbe o- sera la projection de rextrémité de R' sur la direction de la normale OM, à la courbe rfo-.

Le rayon de courbure R et les rayons de ses développées première et seconde sont aussi liés par une relation simple avec le rayon de courbure Ri de la courbe après le développement; cette relation est

R, cos^/ R' R' Rsin'a'

elle résulte de l'élimination de r, r', r" entre l'équation (6) du n*» 133 et l'équation

r=:Rsina,

et ses deux dérivées par rapport à e.

136. Problème XXIII. — Étant données les mêmes condi-tions que dans le problème précédent y d'un point 0" on mène des rayions égaux et parallèles à MO. Nature du lieu des extrémités de ces rayons (fig* ^^)*

Soient t., e, Ci, ^1 le rayon vecteur, l'angle polaire, Tare et le rayon de courbure de la courbe ; a, 1 les angles de la tangente avec le rayon vecteur et avec l'axe 0" x; on a les équations

relatives à celle courbe

<i) -j — =sina, j— =cosa,

et aussi les équations

(2) rfo- 4- rfr=: rf5C0sa, rcl£ = dssit\a

relatives à la courbe (x.

Tangente. -— Comme «. et r sont égaux, pn a, d'après l'équalîon (2) du n<> 13b,

cota = — =: tangi — cotfl, et conséquemment

(3) C0la-+-C0tflc, -4- COtfl = o;

telle est la relation qui lie les angles « et «i des tangentes des courbes s, et o-, avec leurs rayons vecteurs, et l'angle a que chacun des deux rayons vecteurs fait avec Taxe des x. Élément de la courbe

da\ = {r'-h r'')dtK •

Conséquemment, eu ayant égard aux équations (2) du numéro présent et aux équations (6) du n° 132, on obtient la formule

{4) d<j]=: ds^sm^a 4- ds] sin'«,.

Rayon de courbure Q. — On a les relations

.w, I sina da r'

Q r ddx r

si Ton différentie cette dernière et qu'on ait égard aux relations (i), on a

doL rr" — r'^ . ,

- sin'a;

rfo-i r

donc