CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC

si Ton élimine a entre ces deux équations, on a la courbe 5, c'esl-à-dire le cercle Ri rapporté au cercle R ; et ce sera l'inverse si Ton élimine entre ces deux équations Tangle e. On obtient ainsi

(2) r = 3cose dz y^RJ — (R — dsine)».

(3) r=R,sinazbv^d»— (R — R,cosa)%

1^ Lieu des centres instantanés Mi dans le plan fixe. — Soient ^ et 7 les coordonnées du point Mi par rapport à deux axes rectangulaires passant par C, dont Taxe des x coïncide avec CCt ; soit CM» = p et <]; l'angle de p avec l'axe des jr, on a

,,, OM, ^ / 7r\

donc

(5) p = R — r cota — R — R, cosa ±: cota y^ô* — (R — R, cosa)%

équation entre les deux coordonnées p et a; il ne reste qu'à éliminer a entre cette équation et la deuxième des équations (i) : on trouve

d(R~dcos0)sin0

pr=--5cosezi:

v/Rî-(R — dcosÔ)^

qui est l'équation polaire du lieu.

Lieu des centres instantanés dans le plan mobile. — En procédant comme il vient d'être fait et en remarquant que les coordonnées polaires sont pt et a considérées dans le plan mobile, on trouvera l'équation suivante :

p, = R, -f. -: — s/à' — (R — R, cosa)'.

139. Problème XXIV. — Les mêmes conditions étant don-nées que dans le problème XXI ( n** 132 ), déterminer la courbe s de telle sorte que V angle des deux normales soit proportionnel à l'angle que la droite mobile OMfait avec l'axe fixe (fig. 54).

290 LITEE II. — COURBES EAPP0RTÊB8 A DES STSTftVBSy ETC.

Conditions du problème. — On a la condition

, , d{r-\- 0-) cosme

' rae sinme

laquelle» quand on a égard à la relation ^=:cp(e), donne réquation différentielle de la courbe

y X dr , ,

(2) -j rcotme 4- cp(e) = o,

qui est linéaire; son intégrale est

(3) r=Csin'"m€ — sin'^me I <p(e) sin ^medt;

cette équation est celle de la courbe s rapportée à la courbe a comme courbe des pôles. Il faut y joindre les relations angulaires

(4) a = me, e = a4-e, e =i [m -\- i)t.

Équation naturelle de la courbe. — On a les relations

ds r r

dt sina sinme'

or siy pour abréger, on représente par F(e) le second meinbre de l'équation (3), on a les équations

de sin a m

sm e

dont la dernière est l'équation naturelle de la courbe.

Courbe lieu des points Mi dans le plan mobile. — Soient HMi le rayon vecteur p et ip l'angle de ce rayon avec la droite HO, on a

r=rpsina,