CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC

ety par suite,

\im m)

sera Téquation du lieu des points Mi dans le plan mobile.

Pour avoir Téquation du lieu en coordonnées rectangles, soient MO Taxe des x et une perpendiculaire menée par le point M à cette droite Taxe des /, et x\ y' les coordonnées du point Ml par rapport à ces axes ; on a

x'^OlAy j' = OM.; donc

(8) ^'z=^F(e), ^=cotm£

donnent les coordonnées x'y y' en fonction de la variable e. L'élimination de e entre ces deux équations donnera Téquation du lieu en coordonnées rectangles.

140. Solution analytique du problème IV. — Conservons la notation exposée au n"* 115. Rapportons la courbe Ci, lieu des centres instantanés dans le plan mobile aux courbes ifb, libi, développées des courbes v, vi situées dans le plan mobile; les coordonnées du poiat de la courbe Ci par rapport à iR> seront p et ty et, par rapport à la courbe ijbi, elles seront pi, ei. De même, si Ton rapporte la courbe C, lieu des centres instantanés dans le plan fixe, aux courbes B, Bi développées des courbes n, Hi situées dans le plan fixe, les coordonnées seront r, e par rapport à la courbe B, et ri, ei par rapport à la courbe Bi. Cela posé, si l'on se reporte au n** 115, on déduit des équations (v) et (n) les relations

(i) p rfs =^ rdey Pi dis = r, rfe»,

et les deux suivantes :

(2) p -4- rz= cp(e) -4-/(6), p, H- Ti rtn (p,(e.) -h/.(^, );

or les quatre angles e, ^1, e, Ci sont tels que trois sont fonctions du quatrième. En effet, si Ton représente par ^, m, ^i, ni les coordonnées rectangulaires des points de contact E, Et des courbes v, Vi avec les courbes n, /ii, et par ^, y, Xt, y^ les coordonnées des mêmes points de contact en tant qu'appartenant aux courbes n, ni, les premières coordonnées par rapport à deux axes O'x't O'y' situés dans le plan mobile, les secondes par rapport à deux axes j?, Oj situés dans le plan fixe, on a

^ =fcos$ d<T, Yi =fsine da; $i=/coseirf(r„ yj, =:/sin6,rf(7,; X =Jcose dSf X =fs\ne ds; ^i=y*cosei dst, yt =fsinetdst,

La distance EEi, suivant qu'elle sera exprimée dans Vun ou Tautre système de coordonnées, donnera deux valeurs D ou A qui devront être identiques; on a donc, outre l'équation

l'équation suivante :

(5) {s^.-.xY^iri^rY^ii-^^Y-^ini'^ny.

Appelons t et / les angles que la ligne EEi des points de contact fait avec l'axe des O'x' dans le plan mobile et avec l'axe 0^ dans le plan fixe, il est évident que l'on aura la relation

(6) T — / = e — e = e» -— El,

et comme on a

Xt—X . ^ y^ — r

cos/= — =r — » sint = -' , ?

?i — I . nt — n COST= . ■» smT== T j

on aura, en prenant les cosinus des deux membres de l'équa-