CHAPITRE lY. — ■ DES G0UEBE8 EtSULTANT, ETC

Conditions du problème. — Soient dst, rfe„ rp l'arc, l'angle

de contingence et la courbure de la courbe lieu des points Ii ; ^, |3i les angles que les normales font avec la tangente à la courbe Si ; si l'on rapporte les développées 9% ff\ des courbes cr, (Tt à la courbe St, et qu'on représente par t., t^i les rayons tangentiels, on a la double série d'équations suivantes :

V de' - dsi sin j3, rf( o-' ~ i. ) — dst cos(3 ; t^, de\ r dsx sin p, , d{ <t\ -— v, ) == ds^ cos j3, ;

R, t. rf5, '

I sin (3, âfj3i

Pom/ «fe la courbe. — - Le triangle ABI, dont les côtés sont t. -h iR., tti -h ^, et le sommet Ii, est déterminé, puisque l'on connaît la base AB et les angles adjacents à cette base; on a donc

P — pi It -h Jl t., -4- ^1

sin (pi— (3 ) cosai cos a

Tangente.— Si l'on appelle X, dX>i les normales à la courbe 5, par rapport aux courbes o^, a^, on a les relations

X, r=(D'Gsinp, t., ==3'll>, sinj3,,

et conséquemment on déduit des équations (i) la relation

or les angles dtydtxsonx égaux^ chacun à chacun, aux angles dt'f de\ ; on en déduit la relation suivante, que l'on peut écrire sous une double forme,

,,. Xt N, v sinfl r sfnp

5^ "" N ' vi sinai ~~ r» sinp,*

Cette équation fait connaître le rapport des sinus des angles

300 UTRB n. — 0CN71BBS ftAPPOBTtBS ▲ DBS SfSTftBSS, ETC.

P et Pi, et par conséquent la direction de la tangente à la courbe a..

Bajron de courbure. ~ Si Ton différentie Téquation (4) par rapport à f i, on a

. f, dSfC^t dtKo i/Ni rfN ^

or on a les relations

conséquemment on obtient les équations

3^ I /se ^ t.cosS\

dsi V \3(^ ^ Ri sin^/

in^i I /A', Q . t., cos(3,\

iflf^i vt V^'G, '^ R, sinp,/

On trouve de la même manière

rfN __ I /jR. acosfl N cosa X Nrfi, 0^ \ r sina Rsina/

rfN, I /Ai 2 cosai N, cosa,\

Nirf*, 3'C>i \ r, sinai Rsina, /'

or, si Ton a égard à ces valeurs, l'équation (5) deviendra

3^t / cos(3i __ cos(3\ ^ N, /cosa, ^ cosa\ Ri \sinPi sin^/ R \sinai sina/

N , sin(g — P) sin(a«— (3,) N sinasin|3 siDaiSinj3i

7 "" Ty j^ "^ \Tr "" rT/ "" ^'

que nous pouvons écrire sous la forme suivante, qui est tout