CHAPITRE lY. — I^BS COURBES RfiSULTÂNT, ETC. 3of

à fait symétrique,

I / cos^i eosj3\ I / Ni cosfli N cosa\ Ri \ sin ^1 sin ^ / R \<D^i sin ai X sin a)

2 sin(fl — (3) 2^ sin (g, — (Si)

2fl> sinasin^ X, sin ai sin ^i

qui fait connaître le rayon de courbure Ri de la courbe 5,.

Ikk. Problème IV. — Les trois sommets d'un triangle A, B, C {Jig. Sq) parcourent trois courbes s, Si, St, tandis que les côtés

Fig. 59.

apposés enveloppent trois courbes o-, 0*1 > a^, relations entre les tangentes et les rayons de courbure.

Conditions du problème. — Soient Ao-a, Ao-i; Bo-syBc; Co-,Co-|, représentés par t^», t.,; t.^^ t^^*^; x.(^K t.[*\ Soient a,, a,; a^^\ «<»> a('^ a^*^ les angles que ces rayons tangentiels font avec les tangentes aux sommets. Soient R, Ri, R2 les rayons de cour* bure des courbes 5, ^i, Sj; Si, Sii, ^, ceux des courbes cr, (Ti, 0*1. ^ient e, e., 83; e, et, et les angles que les tangentes aux courbes a, (Ti, o-a; 5, 5i» Si font avec un axe fixe; si Ton rapporte s

aux courbes o-i et a^, on aura la série d'équations

/ x^ dzi = ds sinasy d(v^ ^vt)=^d$ cosocs; t., dit = ds sinaiy rf(o-| — t'i) =: ds cosai;

I sin as doct

£i — ÛCi -f- €f

R t^ ds'

I sinai dâii

On obtiendra deux autres séries d'équations semblables : la première pour la courbe ^i, que nous appellerons série (Si) ; la seconde pour la courbe «a» que nous appellerons série (Ss) ; on les déduira de la série (S) par la permutation rotàtoire des indices, soit supérieurs, soit inférieurs.

Relations entre les tangentes. — Si Ton multiplie entre elles les trois premières équations de la première ligne des séjies (S), (Si), (Sa) et les trois premières^ équations de la deuxième ligne des mêmes séries, et qu'on divise la première clés équations résultantes par la seconde, on obtient la relation suivante :

vjvOvf») sînaaSina<'> sina^*^

V, v^^K^^t sina, sina!^') sina^»^

Cette relation peut s'écrire sous une autre forme ; car si l'on introduit les six normales relatives aux six rayons tangentiels données chacune par une relation dont la suivante est le type

(2) t.a=NaSinaa,

l'équation (T) deviendra

. NaNO) N(^)

qui est une relation entre les normales aux courbes de la question, et d'après laquelle on pourra construire la normale à Tune d'elles lorsque les autres courbes seront connues.

Posons, pour abréger, les rapports de deux normales, égaux aux auxiliaires v, v(*^ v(*>, l'équation précédente pourra s'écrire

CBAPITUS IT. — DES GOURBBS RESULTANT, ETC. 3o3

SOUS la forme simple

(y) VV('>V(*) = 1.

Relation entre les rayons de courbure. — Il existe entre les rayons de courbure des six courbes une relation remarquable que nous allons calculer.

Ecrivons les trois équations

on obtient, par la comparaison des premières équations de chaque ligne dans les séries (S), (S,), (S.), les relations suivantes :

'^ ds~~l^V rf*. "Nc^' ds,'~'S^^'

cela posé, si Ton différentie Téquation (v)» on aura la relation

que Ton peut écrire sous la forme suivante, le signe 2 s'étendant à tous les indices,

or, si Ton remarque que, par suite de la différentiation de deux des équations (2) et en ayant égard aux équations des séries (S), (Si), (Sa), on a les relations suivantes :

, ,. y^^ds v^ds * ds

et deux couples d'équations semblables, le premier relatif à la courbe St et le second à la courbe 5,, Téquation (v'^) prendra

3o4 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

une nouvelle forme. En efifet, si l'on pose, pour abréger,

sin «s sin a^/^ Ni R, sin (x\^^ sin «(*>

et qu'on représente par ^, ^i ce qui devient le second membre lorsque Ton fait subir aux indices deux permutations circulaires successives, on obtient l'équation

^'^^ N(0 N, "^ Ni N(/) "^ N, N^,') "" °'

qui établit la relation que nous voulions démontrer entre les rayons de courbure des six courbes.

145. Transformation des équations précédentes {Jîg. Sg). — Prolongeons les tangentes des courbes s, St, St jusqu'à leurs rencontres; soit le triangle ÀiBiCi ainsi formé, de telle sorte que les sommets Ai, Bt, Ci soient opposés aux courbes s, ^i, 5.; le triangle Âi B|Ci est décomposé en quatre triangles partiels; or les triangles ABCi, BCÀi, CABt donnent les trois séries des rapports égaux

AC. BCi AB sina^j'^ sin a, sin Ci'